流形這個概念是什麼時候出現的，我不太確定，大概是黎曼首開其風氣，黎曼是高斯的得意門生，一生貧病交迫，來不及接任正式教職，就一命嗚呼了．數學家苦命的不少，例如伽羅瓦，阿貝爾，羅摩奴闍等人，都是天份特高，福份特薄的幾位．

自從文藝復興開始，西方發生了天翻地覆的鉅變．在繪畫上，透視畫法運用消逝視點營造出前所未有的立体效果，一幅畫中只存在一個消逝視點，能產生非常逼真的圖像，至於是誰想出透視畫法，我也不太清楚，但可以知道，這種新穎的技巧快速催生了一種新的學問，數學家從中發掘出一種稱為畫法幾何的學問，或更一般意義的射影幾何．

射影幾何是第一種非歐幾何，創造出射影幾何的數學家們，可能沒有意識自己已經跨出了很關鍵的一步，事實上，在射影幾何問世之後相當時間，他們還在爭論第五公設的合法性．

射影幾何，顧名思義，它的基本概念是將一個立体投影到一張紙的表面，各位可以想像一台攝影機把外景曝光在底片上，那就是射影的意義．

如果反過來看，從底片投影回真實的景物，我們剛好得到一個由非歐幾何轉換到歐氏幾何的漂亮的例證，也就是說，所謂兩平行直線相交，在底片上投影法繪製的圖畫就可以一目了然．

回過頭來，我們談談流形，流形的概念基本你可以看作是沒有特定形狀的幾何物体，它可以是一個圓，一個球，一塊橡皮擦，一個阿米巴原虫的形体，唯一規範流形定義的就是這種幾何物体在局部呈歐氏空間性質．

於是，我們進入了分析（其初等形式即微積分）的世界．

”局部”這個概念源自微積分，在分析學裏，有很嚴謹的定義，我們拋開抽象的數學術語，所謂”局部”，我們可以這樣理解．上一篇文章，我們提到最早的人類是從歐氏幾何開始研究幾何學的．原因很簡單，因為我們有限的經驗讓我們以為地球本身是平的，之所以會如此是因為相對於龐大的地球，我們生活在很”局部”的地表，在這個很小片的地表上，地面彎曲的程度很微小，幾乎可看做是平的，所以我們使用歐氏幾何來蓋房子造橋不會發生大問題，要是我們像小王子一樣生活在那麼小的星球，我們很容易發現不但很難蓋房子造橋，甚至走路都要小心撲空摔跤呢！

所以流形就是在每個”局部”，我們都會以為自己身在平地，一點也意識不到這個流形本身可能長得奇形怪狀．

至此，在龐加萊猜想中，流形，局部，歐氏空間，都得到了初步的理解，接下來，還需要討論”同胚”，”單連通”，”封閉”這幾個詞的意思，這樣，我們又從分析跨到了拓樸學．一個問題裏面包括了幾何，分析和拓樸，足見其牽涉之廣泛了．