2006-06-23 00:43:40夏途島
理解龐加萊猜想的預備知識－拓樸學部份
拓樸學（topology）是一門很新的學問，以前也翻成位相幾何學，足見它原本和幾何學關係密切．
歐拉（Leonhard Euler）所解的柯尼斯堡（Koenigsberg）七橋問題是早期拓樸學的一個著名問題．插個題外話，柯尼斯堡就是大哲學家康德的故鄉，和很多著名人士有關係，包括希爾伯特和前文的閔可夫斯基都曾任柯尼斯堡大學的教授，這座城市是東普魯士的首府，現在已經變成了俄羅斯轄下的飛地，名字叫加里寧格勒，其實，那時歐拉也是俄國聖彼得堡科學院的數學教授．
所謂七橋問題就是一筆畫問題，如何不重覆路線一次逛完柯尼斯堡的七座橋．歐拉這樣思考，如果要全部走過一遍，必須要回到起點，也就是起點等於終點，有去有回，因此和起點連接的必為偶數條連線，可是在圖中，沒有任何一個點的連線是偶數條，所以沒有起點，自然就證明沒有可以用一筆畫出的路線了．
從這個問題開始，一門新的學問誕生了，數學家們研究起這些路線圖的種類和性質，並引申出第一個拓樸學的重要觀念－－”同胚”，所謂同胚是指，任何兩個線圖如果經過把線扯直後，結構相同的圖型，視為互相同胚．借用蘇聯數學家Voltyansky和Yephremovich在共同著作的”拓樸學奇趣”一書的例子，字母M和C同胚，字母E和T,Y同胚．
然後再引申這個觀念到立体的世界，譬如，甜甜圈和足球不同胚，因為甜甜圈中間有一個洞．每個拓樸結構如果像七橋圖一樣整個連成一棵，就叫做”連通”，而像是俄文字母bl有兩片獨立的部份，就不連通（connected）．
另有一個觀念，叫做虧格（genus），所謂虧格就是一個中空的洞，譬如我們把一個球中間挖出一個洞，就可以變成甜甜圈，這時我們稱這個甜甜圈有一個虧格．如果一個連通的幾何圖形沒有虧格，就叫做”單連通”（simply connected）．
現在，讓我們回到龐加萊猜想：”每一個三維的單連通的緊的無邊綠流形，都同胚於一個三維的圓球．”（以下文字，需研讀集合論才可理解：此處所謂”緊的”是指這一集合是個閉集，而無邊緣是指集合中任意點的近旁都包括在集合裏．有些版本直接，用”閉的”一語取代”緊的無邊緣”這個囉嗦的描述．）．用例子解釋，就是任何沒有輪胎狀構造的肥皂泡泡都可以經過適當的壓扯抹圓，最終都能變成一顆圓球．
寫到這裏，我發現這三篇文章對我個人的收獲或許比較大，因為讓我趁機再釐清了一些相關的數學概念，至於，你們會不會看得很吃力，我實在沒辦法顧及了．如果，我的文筆再好一點，下次可以說得更清楚吧！
延伸閱讀：世界是平的？
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流形多舛的命运——一个传奇难题与解决者之争
歐拉（Leonhard Euler）所解的柯尼斯堡（Koenigsberg）七橋問題是早期拓樸學的一個著名問題．插個題外話，柯尼斯堡就是大哲學家康德的故鄉，和很多著名人士有關係，包括希爾伯特和前文的閔可夫斯基都曾任柯尼斯堡大學的教授，這座城市是東普魯士的首府，現在已經變成了俄羅斯轄下的飛地，名字叫加里寧格勒，其實，那時歐拉也是俄國聖彼得堡科學院的數學教授．
所謂七橋問題就是一筆畫問題，如何不重覆路線一次逛完柯尼斯堡的七座橋．歐拉這樣思考，如果要全部走過一遍，必須要回到起點，也就是起點等於終點，有去有回，因此和起點連接的必為偶數條連線，可是在圖中，沒有任何一個點的連線是偶數條，所以沒有起點，自然就證明沒有可以用一筆畫出的路線了．
從這個問題開始，一門新的學問誕生了，數學家們研究起這些路線圖的種類和性質，並引申出第一個拓樸學的重要觀念－－”同胚”，所謂同胚是指，任何兩個線圖如果經過把線扯直後，結構相同的圖型，視為互相同胚．借用蘇聯數學家Voltyansky和Yephremovich在共同著作的”拓樸學奇趣”一書的例子，字母M和C同胚，字母E和T,Y同胚．
然後再引申這個觀念到立体的世界，譬如，甜甜圈和足球不同胚，因為甜甜圈中間有一個洞．每個拓樸結構如果像七橋圖一樣整個連成一棵，就叫做”連通”，而像是俄文字母bl有兩片獨立的部份，就不連通（connected）．
另有一個觀念，叫做虧格（genus），所謂虧格就是一個中空的洞，譬如我們把一個球中間挖出一個洞，就可以變成甜甜圈，這時我們稱這個甜甜圈有一個虧格．如果一個連通的幾何圖形沒有虧格，就叫做”單連通”（simply connected）．
現在，讓我們回到龐加萊猜想：”每一個三維的單連通的緊的無邊綠流形，都同胚於一個三維的圓球．”（以下文字，需研讀集合論才可理解：此處所謂”緊的”是指這一集合是個閉集，而無邊緣是指集合中任意點的近旁都包括在集合裏．有些版本直接，用”閉的”一語取代”緊的無邊緣”這個囉嗦的描述．）．用例子解釋，就是任何沒有輪胎狀構造的肥皂泡泡都可以經過適當的壓扯抹圓，最終都能變成一顆圓球．
寫到這裏，我發現這三篇文章對我個人的收獲或許比較大，因為讓我趁機再釐清了一些相關的數學概念，至於，你們會不會看得很吃力，我實在沒辦法顧及了．如果，我的文筆再好一點，下次可以說得更清楚吧！
延伸閱讀：世界是平的？
理解龐加萊猜想的預備知識－幾何與分析部份
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在國外念的Topology，果然看不太懂中文版的。
不太習慣，尤其是專有名詞
版主回應
專用名詞的話,我就不一一去查了,只提一個.”單連通”的原文是 simply connected,是”簡單”連通的意思,而不是”單一”連通,算是一個容易引起誤會的譯名. 2006-07-15 02:33:04
我總覺得愈嚴謹的數學定義,有時愈是對初學者製造障礙.
這個的確是很嚴重的進入障礙
連1加1等於2都需要以定義來證明之
也因此本人習慣性的喜歡找某些人的麻煩
這一篇文章是本台被點閱數最多的文章，但卻有重大瑕疵．
我稍微修改了錯誤．
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補遺：可以連成一棵是一個”連通”（connected）的圖形，單連通（simply connected）就是沒有虧格（genus）．
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以正視聽．