活泉茶館623-複利
2021年10月3日
《真希望國中數學這樣教》中提到「函數」,到底什麼是函數?它說:「數學的世界可大致分成『代數』、『分析』、『幾何』三大區域」。上回我們提到用配方法解一元二次方程式,方程式就屬於代數領域,而現在要講的函數,是屬於分析領域。
「函數則是為了『顯示關聯性的算式本身』例如,將體重(y)和天數(x)的因果關係(現在體重是60公斤,但因暴飲暴食,體重每天會增加2公斤),列出y=2x+60這個算式。這就是函數,而不是方程式。」而「方程式的目的就是找出在『特定條件』下,x(或y)的數值。」例如函數y=2x+60,在『特定條件』下,例如y=70(意思是說幾天後體重會達到70公斤?),就會變成方程式2x+60=70;函數y=2x+60,在『特定條件』下,例如x=3(意思是說3天後體重會是幾公斤?),就會變成方程式y=2*3+60。
假如你的體重是60公斤,按你目前的飲食習慣,每個月會增加半公斤,那麼6個月後你會是幾公斤呢?列成函數是y=0.5x+60,我們把它做成圖表就可一目了然:
月數 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
體重 |
60 |
60.5 |
61 |
61.5 |
62 |
62.5 |
63 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
63.5 |
64 |
64.5 |
65 |
65.5 |
66 |
y=0.5x+60 -> y=0.5*6+60 -> y=63;六個月後體重會變成63公斤。
數學用來考試很難(因為有時間限制,也不能使用工具),但用來解決難題就很有趣。上回提到,對我來說,「股息再投入」是為了複利效果,在利率7%的情況下,每年存24萬,我們來比較一下「股息把它花掉」和「股息再投入」有什麼差異:
「股息把它花掉」的公式比較簡單,列成函數是y=24x,而「股息再投入」就比較難,我查了一下(註一),公式是y=24(1.07x-1)/(1.07-1),計算結果如下:
年數 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
股息把它花掉之存款總額 |
24 |
48 |
72 |
96 |
120 |
144 |
168 |
192 |
股息再投入之複利後總額 |
24 |
50 |
77 |
107 |
138 |
172 |
208 |
246 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
216 |
240 |
264 |
288 |
312 |
336 |
360 |
384 |
408 |
287 |
332 |
379 |
429 |
483 |
541 |
603 |
669 |
740 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
432 |
456 |
480 |
504 |
528 |
552 |
576 |
600 |
816 |
897 |
984 |
1077 |
1176 |
1282 |
1396 |
1518 |
當我們使用圖表來顯示時,在前五年,「股息把它花掉」和「股息再投入」並沒有多大差異,「股息把它花掉」者還會笑「股息再投入」者有錢不會花,但克服了這五年之癢,兩者的差距將越來越大,就算你是個高薪的大學老師,也趕不上一個25K的小資族。
假設有兩個人是同學,有一個高中畢業就去上班,成了一個25K的小資族,但他很會存錢,一年可存24萬元,投資在年報酬率7%的投資組合裡,而且「股息再投入」;他的同學很會讀書,努力上進,經過多年的努力,成了年薪百萬的大學老師,到了43歲,跟江季芸老師一樣,只有存款100萬,看到少子化的現象而想超前部署,只是他沒有彎道超車的能力,於是去請教他投資有成的同學,除了原本的100萬,他每年再拿出60萬來投資,也是投資在年報酬率7%的投資組合裡,而且「股息再投入」:
歲數 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
投資年數 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
25K的小資族 |
24 |
50 |
77 |
107 |
138 |
172 |
208 |
高薪的大學老師 |
|
|
|
|
|
|
|
27 |
28 |
29 |
30 |
31 |
32 |
33 |
34 |
35 |
36 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
246 |
287 |
332 |
379 |
429 |
483 |
541 |
603 |
669 |
740 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
37 |
38 |
39 |
40 |
41 |
42 |
43 |
44 |
45 |
46 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
816 |
897 |
984 |
1077 |
1176 |
1282 |
1396 |
1518 |
1648 |
1788 |
|
|
|
|
|
|
160 |
231 |
307 |
389 |
47 |
48 |
49 |
50 |
51 |
52 |
53 |
54 |
55 |
56 |
28 |
29 |
30 |
31 |
32 |
33 |
34 |
35 |
36 |
37 |
1937 |
2096 |
2267 |
2450 |
2645 |
2854 |
3078 |
3318 |
3574 |
3848 |
476 |
569 |
669 |
776 |
890 |
1013 |
1144 |
1284 |
1434 |
1594 |
57 |
58 |
59 |
60 |
61 |
62 |
63 |
64 |
65 |
66 |
38 |
39 |
40 |
41 |
42 |
43 |
44 |
45 |
46 |
47 |
4141 |
4455 |
4791 |
5151 |
5535 |
5947 |
6387 |
6858 |
7362 |
7901 |
1766 |
1949 |
2146 |
2356 |
2581 |
2821 |
3079 |
3354 |
3649 |
3965 |
落後了23年,大學老師雖重金投入,但永遠也追不上他小資族同學(除非他早年就有買房子,靠著房價上漲或許還能扳回一城),所以複利投資要趁早!
耶穌說:「天國好像寶貝藏在地裏,人遇見了就把它藏起來,歡歡喜喜地去變賣一切所有的,買這塊地。」(馬太福音13:44)很明顯地,只有你認為寶貴的,你才會願意付代價去得到它,而之所以你沒有認為天國很寶貴,是因為你沒有花時間去研究它、了解它,複利亦然。
**********
註一:
定期定額複利公式
y=24(1.07x-1)/(1.07-1)
https://karlfinancialfreedom.com/compound-interest-with-periodic-investment/