2021-07-14 22:12:31Sam

活泉茶館583-配方法

2021621

 

幾個月前在我家老大桌上看到一本書《真希望國中數學這樣教》,讓我想到我高中三年數學和英文是輪流當的,每個學期總有一科不及格,上學期數學59分、英文就60分,到了下學期數學60分、英文就59分,這樣平均下來,四捨五入,兩科剛好都六十分及格。我在想,是不是當時沒遇到會教的老師,下場才會如此?

 

數學解方程式有所謂的「公式解」,但公式我都背不下來,分數也就長進不起來。

 

《真希望國中數學這樣教》提供了一個想法,像(x+3)2-4=0,一般程度的人應該都解得開,只要把「4」移到右邊,變成

 

(x+3)2=4

(x+3) =±√4

x+3 =±2

x=2-3x=-2-3

x=-1x=-5

 

    但題目如果是x2+6x+5=0,你會解嗎?我想,還記得公式的館友恐怕不多了,所以,大家應該都解不出來吧。

 

    (x+3)2-4=0我解得出來,但x2+6x+5=0我卻解不出來,但兩者其實都是一樣的!因為,

 

(x+3)2-4=0

(x+3)(x+3)-4=0

x2+3x+3x+9-4=0

x2+6x+5=0

 

    果然是一樣的,但關鍵就在「x2+3x+3x+9-4=0」這裡,我們把「x2+6x+5=0」變成「x2+6x=-5」,再把「x2+6x=-5」中等號左邊的「+6」除以2就會變成「+3」,我們把它寫成(x+3)2(x+3)2分解開來變成「x2+3x+3x+9」,也就是「x2+6x+9」,「x2+6x=-5」中等號左邊的「x2+6x」變成(x+3)2時會比「x2+6x」多出9來,而這個9又是從(x+3)2中的+32而來,所以把「x2+6x」變成(x+3)2時,只要再減掉「+32」即可,這就是所謂的「配方法」。

 

要變成通則時,只要用「ax2+bx+c=0」即可,配方法如下:

ax2+bx+c=0,等號兩邊都除以a變成

x2+bx/a+c/a=0,把常數c/a移到等號右邊變成

x2+bx/a=-c/a,配方法把bx/a除以2後得出

(x+b/2a)2-(b/2a) 2=-c/a

(x+b/2a)2=-c/a+(b/2a) 2

(x+b/2a)2=-c/a+b 2/4a 2

(x+b/2a)2=(-4ac+b 2)/4a 2

x+b/2a=±√(b 2-4ac)/2a

x=-b/2a±√(b 2-4ac)/2a

x=[-b±√(b 2-4ac)]/2a ……如果這個算式你背得起來,那它就是公式解了!

 

    我們把x2+6x+5=0代入這個公式,a=1b=6c=5

x=[-b±√(b 2-4ac)]/2a

x=[-6±√(6 2-4*1*5)]/2*1

x=[-6±√(36-20)]/2

x=[-6±√16]/2

x=[-6±4]/2

x=[-6+4]/2x=[-6-4]/2

x=[-2]/2x=[-10]/2

x=-1x=-5

    果然無誤。