笛卡爾 

 

　　勒奈·笛卡爾（Rene Descartes）,1596年3月31日生於法國都蘭城。笛卡爾是偉大的哲學家、物理學家、數學家、生理學家。解析幾何的創始人。笛卡兒是歐洲近代資產階級哲學的奠基人之一，黑格爾稱他爲“現代哲學之父”。他自成體系，熔唯物主義與唯心主義於一鑪，在哲學史上產生了深遠的影響。同時，他又是一位勇於探索的科學家，他所建立的解析幾何在數學史上具有劃時代的意義。笛卡爾堪稱17世紀的歐洲哲學界和科學界最有影響的巨匠之一，被譽爲“近代科學的始祖”。

　　簡介

　　1596年3月31日生於法國小鎮拉埃的一個貴族家庭。因家境富裕從小多病，學校允許他在床上早讀，養成終生沉思的習慣和孤僻的性格。1606年他在歐洲最有名的貴族學校──耶穌會的拉弗萊什學校上學，1616年在普依托大學學習法律與醫學，對各種知識特别是數學深感興趣。在軍隊服役和周游歐洲中他繼續注意“收集各種知識”，“隨處對遇見的種種事物注意思考”，1629～1649年在荷蘭寫成《方法談》（1637）及其附錄《幾何學》、《屈光學》、《哲學原理》（1644）。1650年2月11日卒於斯德哥爾摩，死後還出版有《論光》（1664）等。 他的哲學與數學思想對歷史的影響是深遠的。人們在他的墓碑上刻下了這樣一句話：“笛卡爾，歐洲文藝複興以來，第一個爲人類爭取並保證理性權利的人。”

童年

　　笛卡爾1596年3月31日生於法國土倫省萊耳市的一個貴族之家，笛卡爾的父親是布列塔尼地方議會的議員，同時也是地方法院的法官,一歲時母親去世，給笛卡爾留下了一筆遺產，爲日後他從事自己喜愛的工作提供了可靠的經濟保障。笛卡爾在豪華的生活中無憂無慮地度過了童年。他幼年體弱多病，母親病故後就一直由一位保姆照看。他對周圍的事物充滿了好奇，父親見他頗有哲學家的氣質，親昵地稱他爲“小哲學家”。

　　父親希望笛卡爾將來能夠成爲一名神學家，於是在笛卡爾八歲時，便將他送入La fleche(拉夫雷士）的耶穌會學校，接受古典教育。校方爲照顧他的孱弱的身體，特許他不必受校規的約束，早晨不必到學校上課，可以在床上讀書 。因此，他從小養成了喜歡安靜，善於思考的習慣。他在該校學習8年，接受了傳統的文化教育，讀了古典文學、歷史、神學、哲學、法學、醫學、數學及其他自然科學。但他對所學的東西頗感失望，因爲在他看來教科書中那些微妙的論證，其實不過是模棱兩可甚至前後矛盾的理論，隻能使他頓生懷疑而無從得到確鑿的知識，惟一給他安慰的是數學。在結束學業時他暗下決心：不再死鑽書本學問，而要向“世界這本大書”討教。於是他決定避開戰爭，遠離社交活動頻繁的都市，尋找一處適於研究的環境。

年輕時的勒奈·笛卡爾

年輕時的勒奈·笛卡爾

青年參軍

　　笛卡爾1612年到普瓦捷大學攻讀法學，四年後穫博士學位。1616年笛卡兒結束學業後，便背離家庭的職業傳統，開始探索人生之路。他投筆從戎，想借機游曆歐洲，開闊眼界。

　　這期間有幾次經歷對他產生了重大的影響。一次，笛卡爾在街上散步，偶然在路旁公告欄上，看到用佛萊芒語提出的數學問題征答。這引起了他的興趣，並且讓身旁的人，將他不懂的佛萊芒語翻譯成拉丁語。這位身旁的人就是大他八歲的以撒·貝克曼（Isaac Beeckman）。貝克曼在數學和物理學方面有很高造詣，很快成爲了他的心靈導師。4個月後，他寫信給貝克曼：“你是將我從冷漠中喚醒的人……”，並且告訴他，自己在數學上有了4個重大發現。

　　據說，笛卡爾曾在一個晚上做了三個奇特的夢。第一個夢是，笛卡爾被風暴吹到一個風力吹不到的地方；第二個夢是他得到了打開自然寶庫的鑰匙；第三個夢是他開辟了通向真正知識的道路。這三個奇特的夢增強了他創立新學說的信心。這一天是笛卡兒思想上的一個轉摺點，也有些學者把這一天定爲解析幾何的誕生日。

專心治學

　　長期的軍旅生活使笛卡爾感到疲憊，他於1621年回國，時值法國内亂，於是他去荷蘭、瑞士、意大利等地旅行。1625年返回巴黎。1628年，巴黎移居荷蘭，笛卡爾對哲學、數學、天文學、物理學、化學和生理學等領域進行了深入的研究，並通過數學家梅森神父與歐洲主要學者保持密切聯繫。他的主要著作幾乎都是在荷蘭完成的。先後發表了許多在數學和哲學上有重大影響的論著。

　　1628年，寫出《指導哲理之原則》。

　　1634年完成了以尼古拉·哥白尼學說爲基礎的《論世界》。書中總結了他在哲學、數學和許多自然科學問題上的一些看法。

　　1637年，用法文寫成三篇論文《摺光學》、《氣象學》和《幾何學》，並爲此寫了一篇序言《科學中正確運用理性和追求真理的方法論》，哲學史上簡稱爲《方法論》，6月8日在萊頓匿名出版。

　　1641年出版了《形而上學的沉思》。

　　1644年出版《哲學原理》等重要著作。

　　1649 年笛卡爾受瑞典克里斯蒂娜女王之邀來到斯德哥爾摩，但不幸在這片“熊、冰雪與岩石的土地”上得了肺炎，並在1650年2月去世。

偉大先賢

　　他的著作在生前就遭到教會指責，死後又被梵蒂岡教皇列爲禁書，但這並沒有阻止他的思想的傳播。

　　笛卡爾不僅在哲學領域里開辟了一條新的道路，同時笛卡爾又是一勇於探索的科學家，在物理學、生理學等領域都有值得稱道的創見，特别是在數學上他創立了解析幾何，從而打開了近代數學的大門，在科學史上具有劃時代的意義。

　　笛卡爾的主要數學成果集中在他的“幾何學”中。當時，代數還是一門新興科學，幾何學的思維還在數學家的頭腦中占有統治地位。在笛卡爾之前，幾何與代數是數學中兩個不同的研究領域。笛卡爾站在方法論的自然哲學的高度，認爲希臘人的幾何學過於依賴於圖形，束縛了人的想象力。對於當時流行的代數學，他覺得它完全從屬於法則和公式，不能成爲一門改進智力的科學。因此他提出必須把幾何與代數的優點結合起來，建立一種“真正的數學”。笛卡爾的思想核心是：把幾何學的問題歸結成代數形式的問題，用代數學的方法進行計算、證明，從而達到最終解決幾何問題的目的。依照這種思想他創立了我們現在稱之爲的“解析幾何學”。 1637年，笛卡爾發表了《幾何學》，創立了平面直角坐標系。他用平面上的一點到兩條固定直線的距離來確定點的位置，用坐標來描述空間上的點。他進而又創立了解析幾何學，表明了幾何問題不僅可以歸結成爲代數形式，而且可以通過代數變換來實現發現幾何性質，證明幾何性質。解析幾何的出現，改變了自古希臘以來代數和幾何分離的趨向，把相互對立着的“數” 與“形”統一了起來，使幾何曲線與代數方程相結合。笛卡爾的這一天才創見，更爲微積分的創立奠定了基礎，從而開拓了變量數學的廣闊領域。最爲可貴的是，笛卡爾用運動的觀點，把曲線看成點的運動的軌蹟，不僅建立了點與實數的對應關係，而且把形（包括點、線、面）和“數”兩個對立的對象統一起來，建立了曲線和方程的對應關係。這種對應關係的建立，不僅標志着函數概念的萌芽，而且標明變數進入了數學，使數學在思想方法上發生了偉大的轉摺--由常量數學進入變量數學的時期。正如恩格斯所說：“數學中的轉摺點是笛卡爾的變數。有了變數，運動進入了數學，有了變數，辨證法進入了數學，有了變數，微分和積分也就立刻成爲必要了。笛卡爾的這些成就，爲後來牛頓、萊布尼茲發現微積分，爲一大批數學家的新發現開辟了道路。

　　笛卡爾在其他科學領域的成就同樣累累碩果。笛卡爾靠着天才的直覺和嚴密的數學推理，在物理學方面做出了有益的貢獻。從1619年讀了開普勒的光學著作後，笛卡爾就一直關注着透鏡理論；並從理論和實踐兩方面參與了對光的本質、反射與摺射率以及磨制透鏡的研究。他把光的理論視爲整個知識體系中最重要的部分。笛卡爾堅信光是“即時”傳播的，他在著作《論人》和《哲學原理》中，完整的闡發了關於光的本性的概念。他還從理論上推導了摺射定律，與荷蘭的斯涅耳共同分享發現光的摺射定律的榮譽。他還對人眼進行光學分析，解釋了視力失常的原因是晶狀體變形，設計了矯正視力的透鏡。在力學方面，他提出了宇宙間運動量總和是常數的觀點，創造了運動量守恒定律，爲能量守恒定律奠定了基礎。他還指出，一個物體若不受外力作用，將沿直線勻速運動。

　　笛卡爾在其他的科學領域還有不少值得稱道的創見。他發展了宇宙演化論，創立了漩渦說。他認爲太陽的周圍有巨大的漩渦，帶動着行星不斷運轉。物質的質點處於統一的漩渦之中，在運動中分化出土、空氣和火三種元素，土形成行星，火則形成太陽和恒星。笛卡爾的這一太陽起源的鏇渦說，比康德的星雲說早一個世紀，是17世紀中最有權威的宇宙論。他還提出了刺激反應說，爲生理學做出了一定的貢獻。

　　1649年冬，笛卡爾應瑞典女王克里斯蒂安的邀請，來到了斯德哥爾摩，任宮廷哲學家，爲瑞典女王授課。由於他身體孱弱，不能適應那里的氣候，1650年初便患肺炎抱病不起，同年二月病逝。終年54 歲。1799年法國大革命後，笛卡爾的骨灰被送到了法國歷史博物館。 (補充：瑞典女王爲了顯示對知識的尊重,專門派一艘軍艦接笛卡爾到瑞典)

　　笛卡爾的婚姻：與斯賓諾莎、萊布尼茨一樣，笛卡爾終身未婚，沒有享受到家庭生活所帶來的快樂。他有一私生女，但不幸夭摺，爲其終生憾事。

成就

　　笛卡爾在科學上的貢獻是多方面的。但他的哲學思想和方法論，在其一生活動中則占有更重要的地位。他的哲學思想對後來的哲學和科學的發展，產生了極大的影響。

哲學方面

　　笛卡爾強調科學的目的在於造福人類，使人成爲自然界的主人和統治者。他反對經院哲學和神學，提出懷疑一切的“系統懷疑的方法”。但他還提出了“我思故我在” 的原則，強調不能懷疑以思維爲其屬性的獨立的精神實體的存在，並論證以廣延爲其屬性的獨立物質實體的存在。他認爲上述兩實體都是有限實體，把它們並列起來，這說明了在形而上學或本體論上，他是典型的二元論者。笛卡兒還企圖證明無限實體，即上帝的存在。他認爲上帝是有限實體的創造者和終極的原因。笛卡兒的認識論基本上是唯心主義的。他主張唯理論，把幾何學的推理方法和演繹法應用於哲學上，認爲清晰明白的概念就是真理，提出“天賦觀念”。

　　笛卡爾的自然哲學觀同亞里士多德的學說是完全對立的。他認爲，所有物質的東西，都是爲同一機械規律所支配的機器，甚至人體也是如此。同時他又認爲，除了機械的世界外，還有一個精神世界存在，這種二元論的觀點後來成了歐洲人的根本思想方法。

　　最著名的思想就是“我思故我在”。意思是：“當我懷疑一切事物的存在時，我卻不用懷疑我本身的思想，因爲此時我唯一可以確定的事就是我自己思想的存在”。這句被笛卡兒當作自己的哲學體系的出發點的名言，在過去的東歐和現在的中國學界都被認爲是極端主觀唯心主義的總代表，而遭到嚴厲的批判。很多人甚至以“存在必先於意識”、“沒有肉體便不能有思想”等爲論據，認爲笛卡兒是“本末倒置”、“荒唐可笑”。笛卡爾的懷疑不是對某些具體事物、具體原理的懷疑，而是對人類、對世界、對上帝的絕對的懷疑。從這個絕對的懷疑，笛卡兒要引導出不容置疑的哲學的原則。

物理學方面

　　笛卡爾靠着天才的直覺和嚴密的數學推理，在物理學方面做出了有益的貢獻。從1619年讀了約翰尼斯·開普勒的光學著作後，笛卡兒就一直關注着透鏡理論；並從理論和實踐兩方面參與了對光的本質、反射與摺射率以及磨制透鏡的研究。他把光的理論視爲整個知識體系中最重要的部分。

　　笛卡爾運用他的坐標幾何學從事光學研究,在《屈光學》中第一次對摺射定律提出了理論上的推證。他認爲光是壓力在以太中的傳播，他從光的發射論的觀點出發，用網球打在布面上的模型來計算光在兩種媒質分界面上的反射、摺射和全反射，從而首次在假定平行於界面的速度分量不變的條件下導出摺射定律；不過他的假定條件是錯誤的，他的推證得出了光由光疏媒質進入光密媒質時速度增大的錯誤結論。他還對人眼進行光學分析，解釋了視力失常的原因是晶狀體變形，設計了矯正視力的透鏡。

　　在力學上，笛卡爾發展了伽利略·伽利雷的運動相對性的思想，例如在《哲學原理》一書中，擧出在航行中的海船上海員懷表的表輪這一類生動的例子，用以說明運動與靜止需要選擇參考系的道理。

　　笛卡爾在《哲學原理》第二章中以第一和第二自然定律的形式比較完整地第一次表述了慣性定律：隻要物體開始運動，就將繼續以同一速度並沿着同一直線方向運動，直到遇到某種外來原因造成的阻礙或偏離爲止。這里他強調了伽利略沒有明確表述的慣性運動的直線性。

　　在這一章中，他還第一次明確地提出了動量守恒定律：物質和運動的總量永遠保持不變。笛卡兒對碰撞和離心力等問題曾作過初步研究，給後來克里斯蒂安·惠更斯的成功創造了條件。

天文學方面

　　笛卡爾把他的機械論觀點應用到天體，發展了宇宙演化論，形成了他關於宇宙發生與構造的學說。他認爲，從發展的觀點來看而不隻是從已有的形態來觀察，對事物更易於理解。他創立了漩渦說。他認爲太陽的周圍有巨大的漩渦，帶動着行星不斷運轉。物質的質點處於統一的漩渦之中，在運動中分化出土、空氣和火三種元素，土形成行星，火則形成太陽和恒星。

　　他認爲天體的運動來源於慣性和某種宇宙物質鏇渦對天體的壓力，在各種大小不同的鏇渦的中心必有某一天體，以這種假說來解釋天體間的相互作用。笛卡兒的太陽起源的以太鏇渦模型第一次依靠力學而不是神學，解釋了天體、太陽、行星、衛星、彗星等的形成過程，比康德的星雲說早一個世紀，是 17世紀中最有權威的宇宙論。

　　笛卡爾的天體演化說、鏇渦模型和近距作用觀點，正如他的整個思想體系一樣，一方面以豐富的物理思想和嚴密的科學方法爲特色，起着反對經院哲學、啟發科學思維、推動當時自然科學前進的作用，對許多自然科學家的思想產生深遠的影響；而另一方面又經常停留在直觀和定性階段，不是從定量的實驗事實出發，因而一些具體結論往往有很多缺陷，成爲後來牛頓物理學的主要對立面，導致了廣泛的爭論。

數學方面

　　笛卡爾最傑出的成就是在數學發展上創立了解析幾何學。在笛卡兒時代，代數還是一個比較新的學科，幾何學的思維還在數學家的頭腦中占有統治地位。笛卡兒致力於代數和幾何聯繫起來的研究，於1637年，在創立了坐標系後，成功地創立了解析幾何學。他的這一成就爲微積分的創立奠定了基礎。解析幾何直到現在仍是重要的數學方法之一。笛卡爾不僅提出了解析幾何學的主要思想方法，還指明了其發展方向。他在《幾何學》中，將邏輯，幾何，代數方法結合起來，通過討論作圖問題，勾勒出解析幾何的新方法，從此，數和形就走到了一起，數軸是數和形的第一次接觸。解析幾何的創立是數學史上一次劃時代的轉摺。而平面直角坐標系的建立正是解析幾何得以創立的基礎。直角坐標系的創建，在代數和幾何上架起了一座橋梁，它使幾何概念可以用代數形式來表示，幾何圖形也可以用代數形式來表示，於是代數和幾何就這樣合爲一家人了。

方法論

　　笛卡爾本想在一本題爲《世界》的書中介紹他的科研成果，但是當該書在1633年快要完稿時，他穫悉意大利教會的權威伽利略有罪，因爲他擁護哥白尼的日心說。雖然笛卡兒在荷蘭未受到天主教權威的迫害，但是他還是決定謹慎從事，收書稿進篋入匣，因爲在書中他捍衛了哥白尼的學說。但是在1637年他發表了最有名的著作《正確思維和發現科學真理的方法論》，通常簡稱爲《方法論》。

　　笛卡兒在《方法論》中指出，研究問題的方法分四個步驟：

　　1. 永遠不接受任何我自己不清楚的真理，就是說要盡量避免魯莽和偏見，隻能是根據自己的判斷非常清楚和確定，沒有任何值得懷疑的地方的真理。就是說隻要沒有經過自己切身體會的問題，不管有什麼權威的結論，都可以懷疑。這就是著名的“懷疑一切”理論。例如亞里士多德曾下結論說，女人比男人少兩顆牙齒。但事實並非如此。

　　2. 可以將要研究的複雜問題，盡量分解爲多個比較簡單的小問題，一個一個地分開解決。

　　3. 將這些小問題從簡單到複雜排列，先從容易解決的問題着手。

　　4. 將所有問題解決後，再綜合起來檢驗，看是否完全，是否將問題徹底解決了。

　　在1960年代以前，西方科學研究的方法，從機械到人體解剖的研究，基本是按照笛卡兒的《談談方法》進行的，對西方近代科學的飛速發展，起了相當大的促進作用。但也有其一定的缺陷，如人體功能，隻是各部位機械的綜合，而對其互相之間的作用則研究不透。直到阿波羅1號登月工程的出現，科學家才發現，有的複雜問題無法分解，必須以複雜的方法來對待，因此導致系統工程的出現，方法論的方法才第一次被綜合性的方法所取代。系統工程的出現對許多大規模的西方傳統科學起了相當大的促進作用，如環境科學，氣象學，生物學，人工智能等等。

解析幾何的誕生

　　文藝複興使歐洲學者繼承了古希臘的幾何學，也接受了東方傳入的代數學。利學技術的發展，使得用數學方法描述運動成爲人們關心的中心問題。笛卡兒分析了幾何學與代數學的優缺點，表示要去“尋求另外一種包含這兩門科學的好處，而沒有它們的缺點的方法”。

　　在《幾何學》(是《方法論》中的一部分）卷一中，他用平面上的一點到兩條固定直線的距離來確定點的距離，用坐標來描述空間上的點。他進而創立了解析幾何學，表明了幾何問題不僅可以歸結成爲代數形式，而且可以通過代數變換來實現發現幾何性質，證明幾何性質。

　　笛卡爾把幾何問題化成代數問題，提出了幾何問題的統一作圖法。爲此，他引入了單位線段，以及線段的加、減、乘、除、開方等概念，從而把線段與數量聯繫起來，通過線段之間的關係，“找出兩種方式表達同一個量，這將構成一個方程”，然後根據方程的解所表示的線段間的關係作圖。

　　在卷二中，笛卡兒用這種新方法解決帕普斯問題時，在平面上以一條直線爲基線，爲它規定一個起點，又選定與之相交的另一條直線，它們分别相當於x軸、原點、y軸，構成一個斜坐標系。那麼該平面上任一點的位置都可以用(x,y)惟一地確定。帕普斯問題就化成了一個含兩個未知數的二次不定方程。笛卡兒指出，方程的次數與坐標系的選擇無關，因此可以根據方程的次數將曲線分類。

　　《幾何學》一書提出了解析幾何學的主要思想和方法，標志着解析幾何學的誕生。此後，人類進入變量數學階段。

　　在卷三中，笛卡爾指出，方程可能有和它的次數一樣多的根，還提出了著名的笛卡爾符號法則：方程正根的最多個數等於其系數變號的次數；其負根的最多個數(他稱爲假根)等於符號不變的次數。笛卡爾還改進了韋達創造的符號系統，用a,b,c,… 表示已知量，用x,y,z,…表示未知量。

　　解析幾何的出現，改變了自古希臘以來代數和幾何分離的趨向，把相互對立着的“數”與“形”統一了起來，使幾何曲線與代數方程相結合。笛卡兒的這一天才創見，更爲微積分的創立奠定了基礎，從而開拓了變量數學的廣闊領域。

　　正如恩格斯所說：“數學中的轉摺點是笛卡爾的變數。有了變數，運動進入了數學，有了變數，辯證法進入了數學，有了變數，微分和積分也就立刻成爲必要了。”

 

軼事:蜘蛛織網和平面直角坐標系的創立

　　據說有一天，笛卡爾生病臥床，病情很重，盡管如此他還反複思考一個問題：幾何圖形是直觀的，而代數方程是比較抽象的，能不能把幾何圖形和代數方程結合起來，也就是說能不能用幾何圖形來表示方程呢？要想達到此目的，關鍵是如何把組成幾何圖形的點和滿足方程的每一組“數”掛上鉤，他苦苦思索，拼命琢磨，通過什麼樣的方法，才能把“點”和“數”聯繫起來。突然，他看見屋頂角上的一隻蜘蛛，拉着絲垂了下來。一會功夫，蜘蛛又顺這絲爬上去，在上邊左右拉絲。蜘蛛的 “表演”使笛卡爾的思路豁然開朗。他想，可以把蜘蛛看作一個點。他在屋子里可以上，下，左，右運動，能不能把蜘蛛的每一個位置用一組數確定下來呢？他又想，屋子里相鄰的兩面牆與地面交出了三跳線，如果把地面上的牆角作爲起點，把交出來的三條線作爲三根數軸，那麼空間中任意一點的位置就可以在這三根數軸上找到有顺序的三個數。反過來，任意給一組三個有顺序的數也可以在空間中找到一點P與之對應，同樣道理，用一組數（X，Y）可以表示平面上的一個點，平面上的一個點也可以用一組兩個有顺序的數來表示，這就是坐標系的雛形。

我思故我在

　　這是笛卡爾最有名的哲學命題,出自《方法論》。

　　字面意思

　　這句話簡單的意思是“我思想，所以意識到我的存在。”笛卡兒認爲當我在懷疑一切時，卻不能懷疑那個正在懷疑着的“我”的存在。因爲這個“懷疑”的本身是一種思想活動。而這個正在思想着、懷疑着的“我”的本質也是一種思想活動。注意這里的“我”並非指的是身心結合的我，而是指獨立存在的心靈。

　　深層意思

　　笛卡兒的哲學命題，采用所謂“懷疑的方法”，是在求證“知識”的來源是否可靠。我們可以懷疑身邊的一切，隻有一件事是我們無法懷疑的，那就是：懷疑那個正在懷疑着的“我”的存在。換句話說，我們不能懷疑“我們的懷疑”，因爲隻有這樣才能肯定我們的“懷疑”。笛卡兒也就是從他的 “我思故我在”來證明“上帝的存在”。因爲“我”這個思想的主體不能被“懷疑”，那麼就有一個使“我”存在的更高“存在體”。換句話說，因爲我存在，所以必須有一個使我存在的“存在者”，而那個使我存在的“存在者”，也必定是使萬物存在的“存在者”。因此，能夠使萬物存在的“存在者”，就必然隻有上帝才有可能了。

數學中的"笛卡爾"

　　笛卡爾坐標系

　　在數學里，笛卡兒坐標系，也稱直角坐標系，是一種正交坐標系。二維的直角坐標系是由兩條相互垂直、 0 點重合的數軸構成的。在平面内，任何一點的坐標 是根據數軸上 對應的點的坐標設定的。在平面内，任何一點與坐標的對應關係，類似於數軸上點與坐標的對應關係。采用直角坐標，幾何形狀可以用代數公式明確的表達出來。幾何形狀的每一個點的直角坐標必須遵守這代數公式。

 　　笛卡爾符號法則

　　笛卡兒符號法則，首先由笛卡兒在他的作品《La Géométrie》中描述，是一個用於確定多項式的正根或負根的個數的方法。

　　如果把一元實系數多項式按降冪方式排列，則多項式的正根的個數要麼等於相鄰的非零系數的符號的變化次數，要麼比它小2的倍數。而負根的個數則是把所有奇數次項的系數變號以後，所得到的多項式的符號的變化次數，或者比它小2的倍數。

　　歐拉-笛卡爾公式

　　歐拉-笛卡兒公式，是幾何學中的一個公式。

　　該公式的内容爲：在任意凸多面體，設V爲頂點數，E爲棱數，F是面數，則V ?? E + F = 2。

　　該公式最早由法國數學家笛卡兒於1635年左右證明，但不爲人知。後瑞士數學家萊昂哈德·歐拉於1750年獨立證明了這個公式。1860年，笛卡兒的工作被發現，此後該公式遂被稱爲歐拉-笛卡兒公式。

　　笛卡爾葉形線

　　笛卡兒葉形線是一個代數曲線，首先由笛卡兒在 1638年提出。笛卡兒葉形線的隱式方程爲

　　x^3+y^3-3axy=0

　　極坐標中方程分别爲

　　r(θ)=3asinθcosθ/[(sinθ)^3+cosθ

人物評價

　　笛卡兒（Descartes,René）,法國數學家、科學家和哲學家。他是西方近代資產階級哲學奠基人之一。他的哲學與數學思想對歷史的影響是深遠的。人們在他的墓碑上刻下了這樣一句話：“笛卡兒，歐洲文藝複興以來，第一個爲人類爭取並保證理性權利的人。”

    　笛卡兒出生於法國，父親是法國一個地方法院的評議員，相當於現在的律師和法官。一歲時母親去世，給笛卡兒留下了一筆遺產，爲日後他從事自己喜愛的工作提供了可靠的經濟保障。8歲時他進入一所耶穌會學校，在校學習8年，接受了傳統的文化教育，讀了古典文學、歷史、神學、哲學、法學、醫學、數學及其他自然科學。但他對所學的東西頗感失望。因爲在他看來教科書中那些微妙的論證，其實不過是模棱兩可甚至前後矛盾的理論，隻能使他頓生懷疑而無從得到確鑿的知識，惟一給他安慰的是數學。在結束學業時他暗下決心：不再死鑽書本學問，而要向“世界這本大書”討教，於是他決定避開戰爭，遠離社交活動頻繁的都市，尋找一處適於研究的環境。1628年，他從巴黎移居荷蘭，開始了長達20年的潛心研究和寫作生涯，先後發表了許多在數學和哲學上有重大影響的論著。在荷蘭長達20年的時間里，他集中精力做了大量的研究工作，在1634年寫了《論世界》，書中總結了他在哲學、數學和許多自然科學問題上的看法。1641年出版了《行而上學的沉思》，1644年又出版了《哲學原理》等。他的著作在生前就遭到教會指責，死後又被梵蒂岡教皇列爲禁書，但這並沒有阻止他的思想的傳播。

   　 笛卡兒近代科學的始祖。笛卡兒是歐洲近代哲學的奠基人之一，黑格爾稱他爲“現代哲學之父”。他自成體系，熔唯物主義與唯心主義於一鑪，在哲學史上產生了深遠的影響。同時，他又是一位勇於探索的科學家，他所建立的解析幾何在數學史上具有劃時代的意義。笛卡兒堪稱17世紀的歐洲哲學界和科學界最有影響的巨匠之一，被譽爲“近代科學的始祖”。

　　笛卡兒在其他科學領域的成就同樣累累碩果。笛卡兒靠着天才的直覺和嚴密的數學推理，在物理學方面做出了有益的貢獻。從1619年讀了開普勒的光學著作後，笛卡兒就一直關注着透鏡理論；並從理論和實踐兩方面參與了對光的本質、反射與摺射率以及磨制透鏡的研究。他把光的理論視爲整個知識體系中最重要的部分。笛卡兒堅信光是“即時”傳播的，他在著作《論人》和《哲學原理》中，完整的闡發了關於光的本性的概念。他還從理論上推導了摺射定律，與荷蘭的斯涅耳共同分享發現光的摺射定律的榮譽。他還對人眼進行光學分析，解釋了視力失常的原因是晶狀體變形，設計了矯正視力的透鏡。在力學方面，他提出了宇宙間運動量總和是常數的觀點，創造了運動量守恒定律，爲能量守恒定律奠定了基礎。他還指出，一個物體若不受外力作用，將沿直線勻速運動。

　　笛卡兒的主要數學成果集中在他的“幾何學”中。當時，代數還是一門比較新的科學，幾何學的思維還在數學家的頭腦中占有統治地位。在笛卡兒之前，幾何與代數是數學中兩個不同的研究領域。笛卡兒站在方法論的自然哲學的高度，認爲希臘人的幾何學過於依賴於圖形，束縛了人的想象力。對於當時流行的代數學，他覺得它完全從屬於法則和公式，不能成爲一門改進智力的科學。因此他提出必須把幾何與代數的優點結合起來，建立一種“真正的數學”。笛卡兒的思想核心是：把幾何學的問題歸結成代數形式的問題，用代數學的方法進行計算、證明，從而達到最終解決幾何問題的目的。依照這種思想他創立了我們現在稱之爲的“解析幾何學”。1637年，笛卡兒發表了《幾何學》，創立了直角坐標系。他用平面上的一點到兩條固定直線的距離來確定點的距離，用坐標來描述空間上的點。他進而又創立了解析幾何學，表明了幾何問題不僅可以歸結成爲代數形式，而且可以通過代數變換來實現發現幾何性質，證明幾何性質。解析幾何的出現，改變了自古希臘以來代數和幾何分離的趨向，把相互對立着的“數”與“形”統一了起來，使幾何曲線與代數方程相結合。笛卡兒的這一天才創見，更爲微積分的創立奠定了基礎，從而開拓了變量數學的廣闊領域。最爲可貴的是，笛卡兒用運動的觀點，把曲線看成點的運動的軌蹟，不僅建立了點與實數的對應關係，而且把形（包括點、線、面）和“數”兩個對立的對象統一起來，建立了曲線和方程的對應關係。這種對應關係的建立，不僅標志着函數概念的萌芽，而且標明變數進入了數學，使數學在思想方法上發生了偉大的轉摺--由常量數學進入變量數學的時期。正如恩格斯所說：“數學中的轉摺點是笛卡兒的變數。有了變數，運動進入了數學，有了變數，辨證法進入了數學，有了變數，微分和積分也就立刻成爲必要了。笛卡兒的這些成就，爲後來牛頓、萊布尼茲發現微積分，爲一大批數學家的新發現開辟了道路。

　　笛卡兒不僅在哲學領域里開辟了一條新的道路，同時笛卡兒又是一勇於探索的科學家，在物理學、生理學等領域都有值得稱道的創見，特别是在數學上他創立了解析幾何，從而打開了近代數學的大門，在科學史上具有劃時代的意義。

　　笛卡兒在其他的科學領域還有不少值得稱道的創見。他發展了宇宙演化論，創立了漩渦說。他認爲太陽的周圍有巨大的漩渦，帶動着行星不斷運轉。物質的質點處於統一的漩渦之中，在運動中分化出土、空氣和火三種元素，土形成行星，火則形成太陽和恒星。笛卡兒的這一太陽起源的鏇渦說，比康德的星雲說早一個世紀，是17世紀中最有權威的宇宙論。他還提出了刺激反應說，爲生理學做出了一定的貢獻。 

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