ご質問の場合の「と」は「共同動作の相手」を、「で」は「動作の主体」を表しています。ご質問の二つの文は、いずれも以下のような文脈で用いることができ、この文脈では、両者は同一の事実（「先週の日曜日、話し手の一家が公園に行った」という事実）を表していると考えられます。

　先週の日曜日、家族と公園に行きました。
　先週の日曜日、家族で公園に行きました。

　これは、話し手が「家族」という集合に含まれる関係にあるからです。

　一方、次の二つの文は、「父親」が発話したものであるとの仮定のもとでは、異なった事態を表しています。

　先週の日曜日、子供たちと公園に行きました。
　先週の日曜日、子供たちで公園に行きました。

　先の文では、話し手および「子供たち」が「公園に行った」ことが表されていますが、後の文では「公園に行った」のは「子供たち」のみで、「動作の主体」に話し手は含まれていません。

　ここから、ご質問の二つの文も、厳密にいうと異なった意味をもつことがわかります。先の文は、話し手が動作を共にした相手が「家族」であることを表しており、この場合の「家族」には話し手は含まれていません。後の文は、「家族」が「動作の主体」であることを表しており、この場合には「家族」に話し手自身も含まれていると考えられますから、話し手も「公園に行った」との解釈が生じるのです。

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