大師風采

周六晚帶老四老五到衛武營聽馬友友,

老四讀大一,老五是小四生,

坐前排,整整兩個小時,中場休息15分鐘,

一把大提琴,一台鋼琴,古典音樂,

約1900人的場地全坐滿,

整場唯一的小孩,樂在其中安靜聽完,

看來古典樂的魔力真大.

回程坐捷運,兩兄弟拿著平板,

熱烈討論中,老爸受好奇心的驅使,

一問之下才知是數學解不出,

好,這下可發揮老爸的才能了.

問題,圓周上有N個點,全部連成直線,

最多可得到幾個面?

為什麼有這個問題呢?我問.

老五答說,是上課時亂畫,然後問了古哥大神,

看了YT影片,依然有不懂的地方,才問哥哥,

兄弟倆討論許久,沒有共識,哈.

回到家,解題的任務自然落在老爸身上.

快速說明如下:

利用歐拉特性方程式:

平面上凸多邊形一定滿足,角-邊+面=2

圓周上有N個點,可畫出C(N,2)條線,

且N個點可將圓分成N個邊,

故平面上全部的邊數目為N+C(N,2).

註:C(N,2)為N個中取2個的組合數.

兩條直線有一個交點,故圓內交點最多有C(N,4)個交點.

故多邊形角的數目為N+C(N,4)個.

接著,因為圓內交點可使原有線段一分為2,

故一個交點會再增加2個邊,

因此,若有圓內直線交點的話,實際邊數目為

N+C(N,2)+2C(N,4)

註:就是原有的再加上交點數目的2倍.

如此代入歐拉公式算出面的數目即可,

但實際答案應再減一,

因為圓外平面也算一個面,必須減去.

哈,聽懂了嗎?至少要會算排列的階乘,才會算組合,

才會有答案.

數學好玩嗎?