【生日問題】的機率計算詳解及列表

生日問題是指，如果在一個房間要多少人，則兩個人的生日相同的機率要大於50%? 答案是23人。 這就意味著在一個典型的標準小學班級（30人）中，存在兩人生日相同的可能性更高。對於60或者更多的人，這種機率會大於99%。這個問題有時也被稱做生日悖論，但從引起邏輯矛盾的角度來說生日悖論並不是一種悖論，它被稱作悖論只是因為這個數學事實與一般直覺相牴觸而已。大多數人會認為，23人中有2人生日相同的機率應該遠遠小於50%。計算與此相關的機率被稱為生日問題，在這個問題之後的數學理論已被用於設計著名的密碼攻擊方法：生日攻擊。

對此悖論的解釋

可以把生日悖論理解成一個盲射打靶的問題。對於一個23人的房間，先考慮問題的補集：23人生日兩兩不同的機率是多少？為此，可以讓23個人依次進入，那麼每個人生日都與其他人不同的機率依次是1，364/365，363/365，362/365，361/365，等等。先進入房間的這些人生日兩兩不同的機率是很大的，比如說前面5個是1×364/365×363/365×362/365×361/365=97.3%。而對於最後進入房間的幾個人情況就完全不同。最後幾個人進入房間並且找不到同生日者的機率是... 345/365，344/365，343/365。可以把這種機率看成對一張靶的盲射：靶上有365個小格，其中有17個左右是黑格，其餘是白格。假設每槍必中靶並且分布符合幾何概型的話，那麼連續射12槍左右任何一發都沒有擊中黑格的機率（投射於房間裡的人生日都兩兩不同）是多少呢？想必大家立即會感覺到這個機率十分微小。

理解生日悖論的關鍵，在於考慮上述「依次進入房間」模型中最後幾個進入房間的人「全部都沒碰到相同生日的人」機率有多大這件事情。

簡而言之，大多數人之所以會認為23人中有2人生日相同的機率應該遠遠小於50%，是因為將問題理解為「其他22人與你的生日相同的機率」，而非問題本意「23人之中兩兩之間存在生日相同」。如果考慮到這一點，直覺上會將原來的機率乘以23（注意：此算法並不正確），則會意識到機率很大了。

假設有n個人在同一房間內，如果要計算有兩個人在同一日出生的機率，在不考慮特殊因素的前提下，例如閏年、雙胞胎，假設一年365日出生機率是平均分布的（現實生活中，出生機率不是平均分布的）。

計算機率的方法是，首先找出p（n）表示n個人中，每個人的生日日期都不同的機率。假如n > 365，根據鴿巢原理其機率為0，假設n ≤ 365，則機率為

{\displaystyle {\bar {p}}(n)=1\cdot \left(1-{\frac {1}{365}}\right)\cdot \left(1-{\frac {2}{365}}\right)\cdots \left(1-{\frac {n-1}{365}}\right)={\frac {365}{365}}\cdot {\frac {364}{365}}\cdot {\frac {363}{365}}\cdot {\frac {362}{365}}\cdots {\frac {365-n+1}{365}}}

該圖片顯示特定人數對應的2個人生日一樣的機率

因為第二個人不能跟第一個人有相同的生日（機率是364/365），第三個人不能跟前兩個人生日相同（機率為363/365），依此類推。用階乘可以寫成如下形式

{\displaystyle {365! \over 365^{n}(365-n)!}}

p(n）表示n個人中至少2人生日相同的機率

{\displaystyle p(n)=1-{\bar {p}}(n)=1-{365! \over 365^{n}(365-n)!}}

n≤365，根據鴿巢原理，n大於365時機率為1。

當n=23發生的機率大約是0.507。其他數字的機率用上面的算法可以近似的得出來：

比較p (n) = 任意兩個人生日相同機率q (n) =和某人生日相同的機率

注意所有人都是隨機選出的：作為對比，q(n)表示房間中有n+1個人，當中與特定人（比如你）有相同生日的機率：

{\displaystyle q(n+1)=1-\left({\frac {364}{365}}\right)^{n}}

當n = 22時機率只有大約0.059，約高於十七分之一。如果n個人中有50％機率存在某人跟你有相同生日，n至少要達到253。注意這個數字大大高於365/2 = 182.5；究其原因是因為房間內可能有些人生日相同。

生日悖論也可以用Microsoft Excel Spreadsheet類比, 其中A列表示人數,B列表示人數對應的生日相同的機率.

當你行數達到23(即人數)時，你可以看到機率結果開始大於50%.

取材自：生日問題- 維基百科網站