春分閱讀：葉丙成的機率驚豔
春分閱讀：葉丙成的機率驚豔
書名：《 葉丙成的機率驚豔：當數學遇上文學，學生考不好也會笑著離開》
作者：
葉丙成
號丙紳，現任臺大電機系副教授、臺大MOOC計畫執行長。自幼觀父葉勝年教授對生徒之關懷，而立後受臺大電機許博文老師「教授稱謂實不如師，多未傳道、解惑故」之啟發，輔以天生雞婆性格，漸步上熱血教師一途。
其為師也，富熱情，常難忍教學一成不變。時於臉書輔導學子求學、人生之惑，後撰文部落格以惠同惑者，傳閱者眾。庚寅年某月見某生於課堂度孤，當夜不能寐。翻滾至五更，幡然悟得「by the students, for the students, of the students」之心法。自此教學通脫不拘，大開大闔，開發各式獨特教學法。教學深具特色，多有口碑，其簡報與表達課程收徒四十，初選常達數百眾。
其教學創舉無數，備受學生喜愛，並且樂於和學生一起享受創意的樂趣。
部落格「丙紳隨筆」：pcyeh.blog.ntu.edu.tw
臉書專頁：facebook.com/prof.yeh
賴以威
數學專欄作家，師大附中，台大電機畢，現職中研院博士後研究員。認為如同語言的語感、音樂的音感，希望能透過寫作培養更多人的「數學感」。數學不枯燥，枯燥的是計算過程，數學不討厭，討厭的是考卷上的分數。信奉數學大師約翰•馮•諾伊曼的名言「If people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicated life is」。作品常見於聯合報《閱讀數學》、泛科學(Pansci)、有物報告、CAREhER等網路媒體，著有散文集《再見，爸爸》。
個人臉書：www.facebook.com/iweilai0924
共同創作
黃大珉、蕭樂山、陳威宇、謝瑞賢、鄭子宇、朱柏憲、陳鴻猷、柯劭珩 等人
鄭子宇部落格「定理至此證畢」：qed314159.pixnet.net/blog
朱柏憲部落格「灑墨莊」：stegben.blogspot.tw/
內容介紹：
這樣的老師這樣的課，不上實在太可惜！
瞬間吸引數萬人報名！全球知名網站Coursera第一批華語課程
臺大電機系師生的「機率創意遊戲」，首度精華呈現！
村上春樹筆下那對100% 的男女，分開後男孩再想起女孩是自己100% 伴侶的機率有多少？
如果印第安納．瓊斯走進《全面啟動》的夢境，全身而退的勝算有多少？
看Coursera人氣教授葉丙成如何引發學生最大潛能！
26篇來自臺大電機系、結合文學與數學的師生聯合創作，
讓你了解機率真的沒有想像中那麼難，而且超好玩！
這樣的老師這樣的課，不上實在太可惜！
‧他是有史以來第一個在國際舞臺（Coursera）以華語對萬人講學、互動的老師。
‧他是臺灣第一個設計體驗式簡報教學法，讓小學生打大學生期末簡報分數的老師。
‧他是世界第一個將大規模開放式線上課程（MOOC）變成多人線上競技遊戲的老師。
‧他是當代第一個推行「緣源流機率文學創作」的老師。
‧對了，他……也是第一個綁馬尾見校長的臺大電機系老師……
一場線上學習新革命，看見未來教育新契機！
葉丙成，進入臺大教書五年後，即得到「教學傑出獎」，但他發現：「如果學生對這門課沒有學習動機，講得再有趣，也是對牛彈琴。」因此他思考如何把生活中遇到的問題數學化，透過數學的方式解答，並帶著學生重新定義學習，讓學生分組出題、互相測驗，以課程結合線上遊戲競賽的方式，讓學生真正沉迷在學習當中！
本書就像「紙上機率教室」，驚豔題目搶先玩！
‧滿壘滿球數，外加兩人出局的情況下，投手該不該保送眼前的強打？
‧當薛丁格打開下一個箱子，貓咪是死是活的機率有多少？
‧各系舉辦的晚會都好精彩，該選哪一場，才不用排隊排很久？
‧妙麗最後的遺言，是魔法？還是奇蹟？
‧想在期末報告的夾縫中帶女朋友出去玩，最多可以去幾天？
目錄：
推薦序
作者序 For the Student, By the Student, Of the Student!
作者序 紙上的電機之夜
初階
投手的兩難
現在，很想見你
有機農作物
熱愛冒險，才是真男人
近似完美句
Face on Fire！
薛丁格的貓咪日記
伊伊港載貨
生死一線間
少年郎的富翁漂流
角度，很重要
在進入下一個階段之前……
機率的意義
隨機變數及其函數
各種機率分布
中階
真實冒險
一戳就是快樂
阿母，不要摔我手機！
幾點去排隊？
巧克力拉霸
來顆晶體吧！
BJ4 online
V城追殺錄
Ramdomo
高階
大熊的高斯人生
格蘭傑的遺囑
男大學生的日常
在街角等待的 100%女孩
良不良，有關係
艾波寧的結局
附錄：葉丙成老師「機率與統計」課程期中、期末考題
期中考題
期末考題──瓊博的奇幻旅程
推薦序：
葉丙成老師的這本書彰顯了教授數學的新方法。我認為對學生來說，這將會為他們帶來莫大的樂趣。
Prof Andrew Ng
《時代雜誌》百大最具影響力人物、全球最大線上教育平臺Coursera創辦人、史丹福大學副教授
推薦序：樂趣，加倍奉還
「這不太可能吧？」
「這機會很大！」
「你有多少把握？」
我們每天都面臨機率問題，但我們每天都隨隨便便地應對，畢竟人生就是一團混沌，未來總是晦澀不明。然而葉丙成教授跟每一篇妙趣橫生的文章作者，以高度鬥智又逗趣的方式，將機率融入生活、時事、歷史，讓我佩服不已。還有什麼比用自己的文采與智慧出題考倒同學更爽快的？旁觀者如我，也不禁一會兒自我代入出題者，一會兒又代入解題者的角色，雖然總是被徹底考倒，但還是覺得好滿足，因為出題者是那麼認真。
看完這本書，雖然駑鈍如我還沒辦法躍身成為機率大師，但對於生活中每天都要面對的機率判斷，思緒好像變得清晰了點。本書中的「梗」多到數不清，除了能跟上年輕人的話題，還能長知識，可說一兼二顧，收穫多多。數學還是很難，但本書會將樂趣加倍奉還！
鄭國威
PanSci泛科學網總編輯
作者序：For the Student, By the Student, Of the Student!
還記得三年前某日，我在臺大電機系必修課「機率與統計」班上跟大家說：「有一天，我們一定會出版一本書，讓這個世界看到你們超級精采的創作才華！」三年後的今天，我們終於做到了！
這一切，源自於四年前我所開始的一場教學創新實驗。
我的教學生涯始於二○○一年。那一年，我開始在密西根大學當助教教課。從二○○一到二○一○的這十年中，我一直認為，教書就是要教得清楚、教得有趣。因此，我的教學理念就是追求「Be clear, Be fun」。直到二○一○年，我僥倖得到臺大的教學傑出獎。歷年獲獎的都是臺大在教學上素負盛名的前輩們。能與這些前輩齊名，對我是很大的鼓勵！
那時開始，我似乎有了一種錯覺：就像武俠小說一樣，覺得自己的教學似乎……已臻化境？頒完獎後的隔兩天，我在教室上課。當天我依然使出渾身解數，盡可能把課上得清楚、上得有趣。可是，我不由得注意到，在後排有三四位同學，一直在度估打瞌睡。等等，不是教學已臻化境？怎麼還會有人度估？以前上課的時候，即使學生度估也不以為意，但現在看到那些度估的人，卻很像一旦不小心看到液晶螢幕的亮點，就會忍不住老是往那裡看一樣。那一天，那些上課度估的人一直進入我的眼簾。我心裡不斷在想：「怎麼會有人度估？已經教的很清楚、很有趣，怎麼還會有人度估？」
直到當天晚上入睡時，這樣的疑惑依舊占據我腦海，甚至因此輾轉難眠。苦思到半夜，才突然想到：「原來他們就是沒有學習動機啊！」對於沒有學習動機的學生而言，老師教得再清楚、再有趣，他也不會想聽。以前我以為只要教得清楚有趣，學生自然就會有動機聽課。其實不是這樣的啊！
該怎麼做，才能燃起學生的動機？該怎麼做，才能讓他的動機熱烈持續一整個學期？這些才是教學能否成功的關鍵！在那當下，我才驚覺自己在教學上的道行實在太淺。想到自己竟曾生起「已臻化境」的念頭，不禁冒了一身冷汗！感謝四年前在我課堂度估的同學們，是他們點醒了我，讓我的教學理念從此改變！從那一夜起，我在教學上開始追求「如何讓學生維持學習動機」。
究竟該怎麼做，才能引起學生的學習動機呢？這個問題一直苦惱著我。恰好在同一個時間，我也被另一個問題苦惱著：「如何解決常見的作業抄襲問題？」
根據我去臺灣各地演講訪查的結果，發現臺灣大學生的作業抄襲問題非常嚴重。學生抄作業固然不對，但也有其背後的原因。主要是大學生修習的學分太多了，一學期修二十幾個學分，八、九門課，遠比美國大學生只有四、五門課多很多。一學期修八、九門課，讓學生根本沒有時間好好思考，更別說把作業好好磨出來。如果一個題目花了兩三分鐘還做不出來，很多人就會去看習題解答。因為有那麼多科目都要顧，沒辦法單單只在某科的某題作業冒險花那麼多時間，所以學生或是抄襲直屬學長學姐過去留下來的作業答案（學生稱之為「家產」），或是抄襲班上同學的答案，或是抄襲學校旁影印店所賣的各科教科書習題解答……作業的抄襲，是臺灣非常嚴重的問題。
那麼，該如何解決呢？我想到了一石二鳥的方法！我決定把作業變成一種多人線上遊戲。每教完一個章節，我就讓學生自己設計作業題目，然後互相攻破別人的題目。攻破越多題目的人，在地圖上就越領先其他人。由於題目都是每組學生自己設計的，同學就想抄答案也沒得抄，只能被迫好好去思考如何按部就班解出別人的題目！非常感謝我的研究生姜哲雄和唐偉軒，他們以優異的程式設計能力，將這個多人線上遊戲平臺建構出來。在二○一一年下學期，我們的系統正式上線，名字就叫做「BJT-Online」！（細節詳見：pcyeh.blog.ntu.edu.tw/archives/135）
「BJT-Online」這個出題互解的線上遊戲，一方面因為有遊戲元素，使得學生非常投入，另外一方面也因為是靠學生自己出題，所以學生花了更多時間研讀課本內容，期能找出好的材料來設計好的題目。另外，我也發現，透過自己設計題目的經驗，學生們對於題目隱藏架構的洞察力和解題能力，都有顯著提升！
此外，對於數學教育，我一直有自己的堅持：「學生學會以後要會用！」我發現很多學生看到變成數學式子的問題後，都很會解題。但若是在生活或是研究中碰到實際問題，卻有很多人不會利用數學來解。為什麼呢？主要的原因在於：學生看得懂數學式子與數學語言，但日常生活所碰到的問題，卻往往是以「人」的語言來描述的。很多學生欠缺將「人的語言」轉譯成「數學語言」的能力，以至於碰到實際問題時，無法運用所學的數學知識來解決這些問題。
因此，我出的機率考試題目，每年都是很變態的（笑）、滿滿三大頁全是字的應用題，鮮少出現數學式子。學生往往戲稱寫我的題目，簡直就像是在考閱讀測驗一樣！每年考題都是以印第安納．瓊斯博士為主題，設計出揉合故事與數學的題目。我的目的就是要從中磨練學生應用數學於實際問題的能力。另外，由於題目都相當有故事性、趣味性，常常在考場中看到學生一邊解題，一邊莞爾偷笑的景象。我的理念就是「讓學生考不好也會笑！」我希望讓學生即使考不好，也還是對這門科目留下好印象。他日若因其他原因必須重拾這方面的學問時，相信這些學生也比較能再燃起對這一科的學習熱情。
由於我都是出這類型的題目，因此同學們出的作業題也有著類似的風格。這些年來，臺大電機同學們的創作能力，每每讓我驚嘆！大家設計的機率題目揉合了數學與各式各樣的故事：有以《悲慘世界》入題的，也有以葉問入題的；有以村上春樹入題的，也有拿《哈利波特》同人誌入題的。臺大電機同學們驚人的創意作品，往往讓我拍案叫絕！由於學生出題的繳交期限多是半夜三點（ㄟ……不是我變態，是配合學生們的作息啦 @@）。我常常在半夜三點窩在床上，用平板上網看學生出的題目，每次都忍俊不住，邊看邊哈哈大笑。在旁早已入眠的內人，常常被我的笑聲吵醒，實在過意不去！（老婆！真的都是我的學生害的啦！）
這種讓學生出作業的教學方法，後來收到很大的成效。學習效果較我以往的傳統式教學進步很多，學習動機也有顯著提升。自從採用這種教學方法之後，我又衍生出許多新方法：讓學生評分、讓學生設計課程、讓學生決定學習步調等。這一系列教學方法中，都有我的新教學理念貫穿其中：「for the student, by the student, of the student!」
現今很多老師的教學理念都是「for the student, by the teacher, of the student (?).」往往是老師為了學生，辛辛苦苦地把一切東西都準備得好好的，替學生設計各式各樣的教材、作業、題目。一切的工作都是老師獨力在做，但為學生做了這麼多，卻常常得不到學生的肯定與回應，學生的學習效果也不如老師預期的好。為什麼呢？
箇中原因就在於：老師剝奪了學生學習的主動權，以至於學生失去了學習樂趣，也失去了學習動機。試想：若一個人每天都被別人硬塞大魚大肉，他對於吃還會有什麼欲望嗎？我們該做的，是讓學生餓！讓學生重拾學習的主動權！只要將老師平常握在手中的教學權力（出題、評分、授課），下放一部分給學生，學生就會覺得自己對學習有更多的主導權，他們對於學習也將更有動機、更有興趣！
老師，我們不需要再把自己搞得這麼累了！辛苦半天，卻像個不被感激的老媽子一樣，何必呢？不如給一點空間，放手讓學生胡搞瞎搞一陣！
For the student, by the student, of the student!
葉丙成 二○一四年一月
作者序：紙上的電機之夜
嚴格說起來，這篇序言是我在本書中唯一的創作。
在編寫這本書的過程中，我所做的扮演的腳色只是，從累積好幾年的作業裡，挑出適合的作品，然後和其他作者們討論，一起將題目與解答改寫成一篇篇散文，試著讓那些就算提不起勁解題目的少數（多數？)讀者，也能享受閱讀的樂趣、感受到題目的創意，還有那理當跟作業完全扯不上關係的——「趣味」。
我們活在一個自由的時代，可以自己選擇就讀哪門科系、從事哪份職業，甚至連讓誰走進總統府，看起來都是我們說了算。但事實上，絕大多數的我們依然循規蹈矩，走在別人走過的路上。這樣的道路不見得不好，假如是經過時間淬煉的路徑，也就是所謂的「傳統」，那麼跟隨優良的傳統，可以避免不必要的錯誤嘗試。
然而，有些時候因為習慣，因為「好像大家都這麼做、這麼想」，所以我們一不小心，即將一些事情或行為視為理所當然。
這本書想傳遞的就是一些「其實不一定這樣」的想法。
出題比解題學得更多
我的指導教授教導我，做研究最重要的就是不要「因為書本或論文這麼寫，所以這麼做」，幾千年前也有一位老師說過「盡信書，不如無書」。對每件事都抱持著懷疑的心態、親自嘗試，直到發現能說服自己的理由，才真正接受這件事。這是我在念研究所時，親身體驗、學到最寶貴的一課。試想：
把思考的責任交給素未謀面的人，不是一件不負責任的事嗎？
雖然沒有問過葉老師，但我想他必定也將這樣的研究精神應用在他熱愛的教育之中，仔細檢驗課堂中的每一個步驟。
「嗯，為什麼一定要由老師出題，而不讓學生彼此之間出題競爭呢？」
這個念頭彷彿一顆種子，而這本書則是種子發芽、茁壯後，開出的一朵花。
葉老師開這門機率課時，我已經畢業很多年了（面不改色摸摸魚尾紋)。
知道他用這種方式，要求學生互相出題考對方後，我想像了一下：如果是大學時代的我，恐怕也會一不小心就誤入陷阱，或是努力出題設計同學。教過人、站在學習的另一端體驗過的人都知道，從講解或出題過程中所學到的東西，絕對比解題更多。解題只要將出題者發過來的球打回去就可以，但出題卻必須了解所有知識，才知道該如何設計題目、如何發出一記難接卻有意義的球。
理工人的文字舞臺
我很享受整理這本書的過程。
書中有些文章融合了大學生活與數學機率。閱讀時，文字彷彿像夜市裡的夾娃娃機，一把伸進大腦的深處，將青春的尾巴和大學回憶，一個個鉤出來。大學晚會、圖書館念書、新生入學前總期待自己能收到學妹，新生入學後第一天，忍不住把失望的怒氣發洩在學弟身上。這些事情我都做過（對不起，學弟）。
除此之外，還有許多文章的靈感源自於文學名著、電玩遊戲、熱門電影。這是一份集體創作，除了葉老師，還有一起合作的八位學弟：黃大珉、蕭樂山、陳威宇、謝瑞賢、鄭子宇、朱柏憲、陳鴻猷、柯劭珩，以及許多未曾謀面、修了這門機率課程的學弟妹們。在合作過程中，除了看見他們如何充滿創意地將生活中的數學元素萃取出來，剛滿二十歲的他們，對文字的掌握度與表達能力，更令我驚豔。
這讓我想起大學時，每系都有自己的晚會，系上同學能在晚會中盡情展現學業以外的才藝。以前我很喜歡去這種晚會（內文恰恰有一篇計算晚會排隊方式與入場機率的文章)，除了能趁機對暗戀的學伴獻殷勤，也能看見朋友深藏不露的一面，那種感受總是很驚奇、很有趣。這本書的每一頁就是一片舞臺，讓出題的學弟妹們有機會在各位面前舞文弄墨。希望各位讀著讀著，會像參加大學系上晚會一樣感到驚喜，心中浮起「原來理工人也有這麼好的文筆」的感受。
左腦跟右腦，本來就是合作無間的，不是嗎？
無趣的不是數學，而是基本動作
此外，我私心把序言當作許願池，希望這本書能改變大家對數學的誤會──誤會數學總是無趣。
或許，這稱不上誤解，畢竟要是在街上隨機抽樣，十位路人中，大概有九位不僅會認為數學很無聊，還能說出許多充分理由，因為從七歲到十八歲，甚至到二十二歲大學畢業，再可憐一點的到二十四歲研究所畢業，我們多少都曾經遭受過數學的荼毒。
然而我認為，大多時候我們感受到的「無聊」並非數學本身，是關於數學的「基本動作」。
數學是一門累積了幾千年的學問，不像語言偶爾有例外──偶爾有不規則動詞、偶爾這樣用或那樣用都差不多。數學講究高度的精確與量化。學校義務教育的課程中，大部分練習的都只是數學的基本動作，就像打籃球要練習運球、上籃；念英文時要背單字和動詞時態；打桌球時要對牆打、揮空拍，這些也是籃球或英文或桌球的一部分，但跟我們想像中那種在球場奔馳、背著背包在國外自助旅行與外國人對話的感覺又不太一樣。
不論哪一門知識或技藝，基本動作練習都相當無聊。
不然《灌籃高手》裡的櫻木花道，就不會在前幾集裡整天抱怨自己只能在場邊彎腰運球。
為了熟練，我們必須硬生生地將數學與生活切割開來。翻開課本，只看見冷冰冰、宛如死去的數學基本動作。真正的數學隱藏在生活之中，隱藏在帳單、科技產業、電玩遊戲，還有各種更難以想像的地方。這本書或許有些地方太過浮誇、有些地方不切實際，又有些地方純屬搏君一笑。可是，我希望透過它，讓大家感受到數學的溫度，並且重新思考：
數學其實沒有這麼討厭、這麼惱人。
賴以威 二○一四年一月
書摘：投手的兩難
難度：★
解題提示：機率乘法原理與加法原理。
原作者：黃胤勛、吳京達、王唯軒
「現在兩好三壞滿球數，滿壘，還在場上投球的達比修彎下腰，專注看著捕手的指示⋯⋯」
現場的加油聲聽在達比修耳裡，已經一片模糊。極度的疲憊讓他的血液變得混濁，視線也開始失焦。跟球場上的紅土相較之下，他所在的投手丘，早被汗水浸溼成更深的咖啡色。
「世界大賽第七戰，關鍵的第九局，1比0的僵局在這局是否能有所突破？達比修從投手丘上退開，似乎要調整節奏⋯⋯」
達比修仰望天空，深深吸了口氣。前八局投完，也僅僅被敲出兩支零星安打，沒想到這局一開始居然連續保送三名打者。
「體力真的已經到極限了啊。」達比修喃喃自語著。
他讓自己集中精神，按著捕手的絕妙配球，接連三振兩位打者。壓力仍在，但總算減輕了一些。達比修看著沸騰的觀眾席⋯⋯不，壓力根本就沒有減輕啊！
走上打擊區的正是大衛．佛里斯（David Freese），今天那兩支安打都是他敲的！
達比修的球投得保守了些，不知不覺到了滿球數。
再投了幾顆界外球後，雙方都意識到，接下來這球將是決定勝負的關鍵。
一個球季下來，達比修早就摸清楚捕手的配球模式。這個球季裡，他使用快速球的比例占了總投球數的三成，剩下的部分則使用滑球、卡特球、曲球，比例為5：3：2。但是面對兩好三壞（也就是現在的狀況）時，快速球、滑球、卡特球、曲球的比例將變為6：2：1：1。若是投出快速球，則達比修的各種球速（時速九十四、九十五、九十六、九十七英里）出現的機率相同。
「該不該保送佛里斯呢？」
達比修心裡浮現這個疑問。他的捕手是標準的英雄主義者，在這種關鍵時刻一定會選擇正面對決，要達比修把球送進好球帶。但是萬一被打出安打，至少會丟兩分，比賽也就此結束，而達比修就只能站在球場正中央，讓全世界目睹他的失敗。如果投出壞球保送佛里斯，雖然會被搶回一分，但他有把握解決下一棒，進入延長賽、保留勝算。在日本的嚴格訓練，讓他對完投十二局相當有自信。達比修並不介意別人說他不敢正面迎戰，只要是為了最後的勝利，什麼都可以忍耐。
該不該違背捕手的意志，保送佛里斯算了呢？
達比修喊了暫停，緩緩步下投手丘。這時，他注意到休息區給捕手的暗號：「歷年來，佛里斯在滿壘的狀況下，面對投手投出快速球、滑球、卡特球、曲球的打擊率，分別為三成五、兩成五、兩成八、兩成五。他的打擊率雖然不錯，但是他卻有一個小罩門：不擅長打超過時速九十六英里的快速球。
面對這麼快的快速球，他的打擊率會驟降至一成五。」
一串數字就像一把鑰匙，打開達比修內心深處那一段連他自己都快忘記的回憶：三年前，在東京巨蛋的洗手間裡，他遇到一位來自臺灣的大學教授，那位教授留著一頭長髮，講了一堆他聽不懂的數學式，最後還留下一句話：
「有一天你會用到的。」
說完，那位教授竟騎著滑板車揚長而去。
「想不到竟然用在這種時候，那個人叫葉⋯⋯他到底是教授還是預言家？」達比修心中嘀咕了幾句，很快回想起葉教授曾告訴他，該如何根據球種以及給定球種的條件打擊率，來分析打者對自己的真正打擊率。
大衛．佛里斯的打擊率分析 給定球種的條件打擊率 球種出現機率 條件打擊率×球種出現機率
快速球（時速96英里以上） 15% 30% 4.5%
快速球（時速96英里以下） 35% 30% 10.5%
滑球 25% 20% 5%
卡特球 28% 10% 2.8%
曲球 25% 10% 2.5%
全部加總 25.3%
「只有25%左右！」達比修心裡一陣驚呼，他下了決心：「有機會！」
那瞬間，達比修的目光轉為前所未有的犀利。他決定相信捕手，遵照捕手的配球。已經到達極限的身體彷彿再度燃燒了起來。世界大賽總冠軍賽第九局，兩人出局，滿壘、滿球數，捕手比出暗號，達比修點點頭，豪邁地抬起腿，將全身的力量貫注在右手，將球投出。
熱愛冒險，才是真男人
難度：★
解題提示：解題時須小心考慮每一個環節，只要不粗心，基本上沒有問題。
原作者：王宏恩、林奕辰、馮其湧
某日，印弟安捺．瓊斯在飄著小雨的午後走進了酒吧。
「你⋯⋯是瓊斯嗎？」穿著風衣的唐姆．摳比立刻認出了瓊斯。畢竟，不管天氣如何，總是戴著牛仔帽走在大街上的人，在這世界上還真是沒幾個。
「啊⋯⋯被你發現了。」瓊斯冷冷地回應。
「你⋯⋯不撐把傘嗎？」
「⋯⋯」
「好，這不重要，我知道你一向以自己的打扮為傲。」摳比一邊說著，一邊點燃手中的菸。「最近，我的團隊研發了一款系統，能讓人在夢境中展開冒險。」
聽到「冒險」二字，瓊斯的眼睛為之一亮。
「但是這套系統目前可能還不夠完備，需要有人來測試一下，所以我想到了你。」
「喔？感覺很有趣。」瓊斯坐了下來，摳比幫他點了一杯酒。
「這套系統原本是為了讓我可以在妄想世界中為所欲⋯⋯啊，不是，是為了在夢境中進行各種平常無法進行的實驗而研發的；但是，這個系統可能會製造出不穩定的狀況。也就是說，夢境原本可能風平浪靜，不過系統萬一出現異常，夢中的世界就會變成驚濤駭浪。」
「所以，想找我來測試，好讓你們找出異常嗎？」瓊斯的嘴角微微上揚，看來興致勃勃的樣子。
「沒錯，瓊斯。」摳比抓住瓊斯的肩膀。「我們需要像你這樣子的冒險家，幫忙測試這個系統。它不會傷害真正的肉體，所以根本不需要擔心，只是⋯⋯」
「只是，萬一發生什麼意外，我將永遠迷失在夢境之中。」瓊斯用高傲的目光看著摳比，摳比忍不住有些閃躲。
「是的，但我們保證⋯⋯」
「你們能保證，這場冒險會比遊戲還刺激嗎？」瓊斯打斷摳比的話。
「你⋯⋯這是什麼意思？」
「聽你這麼說，感覺好像還挺有趣的。」瓊斯的眼神變得銳利。「但是我知道你的系統一定無法符合我對『刺激』的要求。」
「不，瓊斯，這真的非常的危⋯⋯」
「打個賭吧。」不等摳比說完，瓊斯從口袋中拿出一枚硬幣，一面是天使圖案，另一面則是死神。「如果我沒辦法在五小時內（不含五小時）打破夢境，就付你五萬美元，當做你們團隊的研發基金。」
瓊斯將硬幣翻到死神那一面。「不過如果相反的話，我就⋯⋯」
摳比突然拿出疑似電擊棒的物品。「難度調到最高，夢境模式開啟！」他很快說完，直接往瓊斯頭上打去，讓瓊斯陷入沉睡。
※
「唉喲⋯⋯這是哪裡？」瓊斯虛弱地醒來，發現自己在一個白色房間裡。
「瓊斯，既然你願意提供五萬美元獎金，我們當然沒有不收下的理由。」摳比突然現身。
「你好歹也溫柔一點⋯⋯」瓊斯摸摸額頭，剛剛挨打的地方還有點痛。
「不廢話了，我來介紹一下我們的最強關卡。」摳比輕輕揮了揮手，出現幾張投影在空中的圖片。「進入夢境後，分成A、B、C三個關卡，闖關順序由抽籤決定，而且每個組合（A→B→C、A→C→B、B→A→C⋯⋯）抽出的機率相等。」
按摳比所說，每個關卡的大致情況是這樣的：
關卡A：躲子彈遊戲。即使你身手再好，通過的機率也只有20%，一旦被擊中，就必須花一個半小時來療傷。
關卡B：跨過裝滿神秘藥水的池塘。擅長使用鞭繩的瓊斯可以輕易抓住池塘上方的藤蔓盪過去，通過的機率是三分之二。池塘裡裝滿會讓人感到異常疲倦的藥水，如果掉進去，需要半小時才有辦法游出來。
關卡C：潛入金字塔找出法老王的秘寶。給個提示，寶藏在金字塔另一側，就算速度再快，也至少需要整整三小時才有可能找到寶藏。此外，金字塔中還有一個陷阱──會有大量蛇群竄出（瓊斯非常怕蛇）。瓊斯必須先花一小時探索金字塔，才會經過陷阱，觸發陷阱的機率是三分之二。一旦觸發，瓊斯就會因為過度恐懼而暈倒，直接進入下一層夢境；如果成功避開陷阱，就可以繼續探索金字塔。等到成功通過後，再進入下一關。
下一層夢境裡也有三個關卡，同樣以抽籤決定闖關順序，且每個組合抽出的機率相等。這些關卡是：
關卡D：評斷身為一名探險者的直覺。闖關者必須從七個寶箱中挑選一個，選好之後，其他寶箱就會消失，而每個箱子被挑中的機率都一樣。其中有四個寶箱裡關著猛獸，一旦打開，就要展開一場激烈的廝殺，而且必須花兩個小時對付牠們。剩下的三個箱子裡裝著提神飲料⋯⋯雖然喝了也不會有任何幫助。
關卡E：這是個連摳比也不一定能順利通過的難關。進入關卡後，會看到許多美女，千方百計想要挑逗闖關者。剛剛摳比敲暈瓊斯後，對他的腦袋進行了檢測，發現瓊斯能以理智戰勝，並逃出這個關卡的機會只有一半。如果欲望戰勝了理智，依瓊斯的能力⋯⋯嗯，至少會在裡面花費兩小時。
關卡F：在這個關卡中，闖關者必須以華麗的手法拋出頭上的牛仔帽，並且套中豎著的竹竿竿頂。如果沒有套中或不夠華麗的話，就算失敗，而且失敗的機率高達75%。一旦失敗，為了讓闖關者好好檢討自己的人生是否夠帥氣，必須停止行動半個小時。順利通過D、E、F三道關卡後，闖關者就可以直接脫離兩層夢境，結束這趟冒險。
聽完摳比的說明，瓊斯不屑地冷哼一聲：「解釋這麼久。除了關卡E之外，其他的根本都是小事一樁。」
「喔，我知道你已經經歷過許多冒險，不過這次跟以前可不一樣。」摳比微笑回應。
「除了療傷、漫遊或受到驚嚇等有明確的回復時間外，其他關卡一定可以像流星一樣瞬間通過。」瓊斯用大拇指指著自己，展現絕對的自信。
「不過，事實上⋯⋯」雖然嘴上逞強，但瓊斯還是有一點緊張；再說，五萬美元對於瓊斯而言，可不是一筆小數目。「雖然我習慣槍林彈雨的生活，關卡A大概沒什麼問題，但是剩下的關卡⋯⋯」
瓊斯想知道在關卡A順利通過的條件下，自己順利過關的機率有多少。「成功通過關卡A的情況是條件，通過關卡A之後贏得賭注，則是所求的條件機率。看起來有點麻煩啊⋯⋯」他喃喃自語。
關卡A有哪些通過方式呢？但是關卡C很特別，如果先遇到關卡C，瓊斯又不小心昏倒，掉到下一層夢境，就沒有機會用帥氣的姿勢躲子彈了。
這個地方應該分成兩種情形討論：
P(通過A)＝P(A先於C，且A通過)＋P(C先於A，且C與A皆通過)
=3/6×1/5＋3/6×1/3×1/5＝2/15
就算關卡A通過了，要贏也沒有那麼容易，因為有五小時的時限。可能發生的狀況有以下幾種：
第一，如果先遇到關卡C，則勢必要通過關卡C，才能通過關卡A。此時關卡B無論有沒有通過，破關時間都在五小時內，可以不必理會。
第二，如果先遇到關卡A，過關後才遇到關卡C，情況就比較複雜。如果關卡A跟C都通過，那麼一定可以順利離開夢境。
還有一種情況，就是在關卡C走一小時後啟動了陷阱，而且關卡D和E全都沒通過，各花了兩小時。這樣所花費的時間一定超過五小時，五萬美元就不保了，所以關卡D或E至少要過一關才行。
最後的關卡F如果輸掉的話，只會用掉半小時；如果關卡B同樣輸了，也只花半小時，所以關卡B和F如果都輸了，花費總時數也只有四個小時，五萬美元還是可以安心放在口袋！也就是說，只要可以通過關卡D或E任何一關，就可以不用管關卡B和F了！
P(通過A，且在五小時內過關)=
P(C先於A，且C和A皆通過)+P(A先於C，且A和C皆通過)
+P(A先於C，A通過但C未過，且D、E至少過一關)
＝3/6×1/3×1/5＋3/6×1/5×1/3＋3/6×1/5×2/3×(1─4/7×1/2)
＝(21＋21＋30)/630＝72/630＝4/35
所以，將通過關卡A，而且最後還能獲勝的機率，除以關卡A獲勝的機率，也就是瓊斯帥氣躲過子彈後獲勝的機率：
(4/35)/(4/30)＝6/7
這樣看起來，瓊斯贏的機率還挺高的，應該不用掏出五萬美元了。
「好，摳比，我要開始進入關卡挑戰了。」瓊斯壓了壓帽子，蓄勢待發。
「瓊斯，我先謝過你的五萬美元了。畢竟，你可沒說不能讓你挑戰最高難度呢！」摳比陰險的表情裡埋藏著勝利的宣告。
「你未免太低估我了。我贏的機率很高，一定可以通過這些關卡。」瓊斯走到入口前，背對著摳比。「如果我順利通過關卡的話，」瓊斯說著，一腳踏進入口。「關卡E的美女⋯⋯就全部給我吧！」
「哼，如果你辦得到的話，我沒問題。」摳比爽快地答應，但瓊斯沒有回應。
在另一隻腳踏進去前，瓊斯拿出剛剛那枚硬幣拋到空中後，便走了進去。
硬幣轉呀轉，掉到摳比手上。他俐落接起，看了看上面的圖案。
象徵勝利女神的天使，正用燦爛的微笑看著他。
（本題取材自《印第安納．瓊斯》《全面啟動》）
BJ4online
難度：★★★
解題提示：解題者必須了解均勻分布的意義、期望值的觀念，並且能接受並運用數學上的對稱性。若能了解捲積以及隨機變數相加的概念，將可從不同角度了解題目（不過並非必要）。
原作者：謝瑞賢、吳冠融、黃大珉
某個悠閒的午後，阿賢打開網路射擊遊戲「BJ4Online」想好好放鬆一下。
才登入遊戲，就發現官方送了一筆虛擬金幣，於是，他想用這筆錢來強化自己的軍備。研究遊戲網站中所有關於裝備的評價文章之後，發現有一把名為「貝里尼M1」的霰彈槍。
以半自動霰彈槍來說相當輕便，連射性能也算相當出眾。槍身較短，便於攜帶，因此許多軍隊都採用這款槍枝。然而，雖然可以在近距離內發揮強大威力，但隨著距離拉遠，威力會迅速減弱，這是它的缺點。
阿賢看過說明文字後，覺得自己應該很適合這把槍，於是開啟練習模式準備試用。
試用後他發現，這把霰彈槍的殺傷力確實會隨距離減弱，當槍口距離敵人d時，子彈殺傷力會於40–d至50–d區間內呈均勻分布。
「那就來玩玩看吧！」
阿賢買下這把槍，進入實戰，他輕巧地穿梭著，很快便發現了目標。此時他距目標35/3單位，不過對方並沒有發現他。在這種狀況下，阿賢準確地朝對手連開三槍。
在遊戲中中，當玩家受到的傷害值到達一百單位，生命值便會歸零。
「會死嗎？會死嗎？」
剛考完機率期末考，阿賢大腦裡那些靠熬夜記下來的機率計算迴路還沒消失，他下意識開始進行高速計算，光靠這三槍就能解決對方的機率是多少。
「每次手槍所造成的傷害可視為獨立事件，總傷害分布應由各次傷害的機率密度函數進行三次旋積。單次傷害呈均勻分布，兩個均勻分布的機率密度函數旋積後，呈三角形分布，再旋積一次後，得到的機率密度函數則呈拋物線形，再將『總傷害大於一百』區域內的機率積分，即可得出答案……嗯，等等。」
不只要解出答案，還要用優雅的解法，才算真正懂機率。阿賢重新思考了一下，發現問題沒這麼複雜。
把數字代進去的話，在距離35/3處所造成的傷害，在85/3至115/3間呈均勻分布。但是仔細一想，會發現其對稱於單次傷害的期望值是100/3。換句話說，對於任意的x，單次造成的傷害是100/3＋x和100/3–x的機率是相等的。而阿賢所做的，是把這個過程重複三次；就像把均衡的骰子丟個幾次取點數和，結果仍然是均衡的，即便是考慮三次射擊造成的傷害，依舊沒有任何因素使得期望值以上和以下的機率不同；因此，由於機率分布對稱於100，自然有一半的機率可以使傷害能超過一百，換言之，殺傷率為50%。
若由旋積的角度來看這個問題，將均勻分布的機率密度函數進行旋積後，得到的機率密度函數依然有對稱性，將三個均勻分布的機率密度函數旋積後，便對稱於三倍的原期望值，也就是一百。
連紙筆都不用，就可以輕鬆地算出結果。阿賢對還沒公佈的期末考結果感到安心。
「不過，老實說，誰管他概率是多少。」阿賢聳聳肩，又補上好幾槍，沒有任何妥協，愉快地送對手上路。
這就是人蔘……不，是人生。
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