【天文學與宇宙學】

宇宙學（Cosmology）或宇宙論，這個詞源自於希臘文的κοσμολογία（cosmologia, κόσμος （cosmos） order + λογια （logia） discourse）。宇宙學是對宇宙整體的研究，並且延伸探討至人類在宇宙中的地位。雖然宇宙學這個詞是最近才有的，人們對宇宙的研究已經有很長的一段歷史，牽涉到科學、哲學、神秘學以及宗教。

在最近，天文物理學在目前所謂的物理宇宙學（藉由科學觀察與實驗來瞭解宇宙）的發展上扮演了核心的角色。這個學科專注在宇宙最為巨觀且最早期的面向，一般被理解為由大爆炸起頭，大爆炸指的是空間的膨脹，而到目前為止，宇宙被認為約於137億年前由此膨脹產生。從宇宙劇烈的發生直至它的結束，科學家認為宇宙的整個歷史是一個有秩序的、且在物理定律的支配之下的進程。

物理宇宙學是物理學和天體物理學的分支，專門研究宇宙的物理起源及其演化。這學科亦會從最大的尺度去研究宇宙的本質。

在過往，希臘哲學家認為天是一個天球，當中的機械原理，就成為了現時天體力學的內容。在當時，阿裏斯塔克斯、亞裏士多德及托勒密曾提出過幾個不同的天體學理論，當中以托勒密用來解說天體運作的地心說被廣為接受，直到16世紀時為哥白尼所推翻，並得到克蔔勒及伽裏略等人提出的新日心說理論所取代。這事件成為了宇宙物理學的一個最著名的認識論斷裂的例子。

隨著牛頓及其於1687年出版的《自然哲學的數學原理》的出現，長久以來有關天體的運動問題終於被解決了。牛頓為克蔔勒定律的機制提供了物理上的解釋，而他的萬有引力定律使過往難以解釋的各種奇特天文現象，例如行星逆行的現象，都可以透過行星間的重力交互作用而解釋。牛頓的天體學理論與先前的理論在根本上最大的分別，在於哥白尼原則只提出地球在宇宙裡沒有特殊地位，而牛頓卻更進一步的指出：不論是天體和地球，兩者皆遵守著相同的物理法則。這一點在宇宙物理學的進展來說是很重要的。

近代宇宙學通常以1917年愛因斯坦發表廣義相對論做為分界。愛因斯坦於論文《廣義相對論的宇宙學考量》（該論文在第一次世界大戰前並未普遍流傳到德國之外）中發表廣義相對論。廣義相對論暗示物理學家諸如威廉·德西特、卡爾·史瓦西及亞瑟·愛丁頓等人去探究這理論的天文現象，這使天文學者有能力去探究極遠處的天體。在這之前，物理學家都假設宇宙是穩定無變化的。

另一方面，宇宙學有個歷史悠久的說法：宇宙結構曾經達到頂峰。威爾遜山的天文學家哈羅·沙普利推崇僅由一個銀河恆星系統所組成的宇宙模型，而希伯·柯帝士反駁此想法，認為這只是以自己所在的螺旋星系做推測，是島宇宙。雙方之爭在1920年4月26日的華盛頓國家科學院會議中達到高潮，史稱「沙普利-柯帝士之爭」。此辯論的結論促使愛德溫·哈伯在1923到1924年間去觀測仙女座星系中的超新星。這些星體的位置後來確認了銀河系外圍附近螺旋星系的距離。

隨後愛因斯坦於1917年的論文中引入宇宙常數，再度創造了研究宇宙的可能性。因宇宙常數的大小可能導致宇宙膨脹，於是比利時牧師喬治·勒梅特於1927年提出大霹靂模型，隨後由哈伯在1929年發現的紅移與1964年阿諾·彭齊亞斯與羅伯特·威爾遜所發現的宇宙微波背景輻射證實。這些發現第一步排除了許多替代的宇宙模型。

最近由COBE及WMAP衛星觀測的宇宙微波背景提供了很有意義的結果。當這些觀測與一種稱為宇宙暴漲模型（標準大霹靂模型的規範）的預測吻合時，在許多科學家眼中，這將宇宙學由非常投機的科學化成預測的科學，進入了近代的「宇宙學黃金年代」。

天體物理學（Astrophysics），又稱天文物理學，是研究宇宙的物理學，這包括星體的物理性質（光度，密度，溫度，化學成分等等）和星體與星體彼此之間的交互作用。應用物理理論與方法，天體物理學探討恆星演化、恆星結構、太陽系的起源和許多跟宇宙學相關的問題。由於天體物理學是一門很廣泛的學問，天文物理學家通常應用很多不同的學術領域，包括力學、電磁學、統計力學、量子力學、相對論、粒子物理學等等。由於近代跨學科的發展，與化學、生物、歷史、計算機、工程、古生物學、考古學、氣象學等學科的混合，天體物理學目前大小分支大約三百到五百門主要專業分支，成為物理學當中最前沿的龐大領導學科，是引領近代科學及科技重大發展的前導科學，同時也是歷史最悠久的古老傳統科學。

天體物理實驗數據大多數是依賴觀測電磁輻射獲得。比較冷的星體，像星際物質或星際雲會發射無線電波。大爆炸後，經過紅移，遺留下來的微波，稱為宇宙微波背景輻射。研究這些微波需要非常大的無線電望遠鏡。

太空探索大大地擴展了天文學的疆界。太空中的觀測可讓觀測結果避免受到地球大氣層的幹擾，科學家常透過使用人造衛星在地球大氣層外進行紅外線、紫外線、伽瑪射線和X射線天文學等電磁波波段的觀測實驗，以獲得更佳的觀測結果。

光學天文學通常使用加裝電荷耦合元件和光譜儀的望遠鏡來做觀測。由於大氣層的擾動會干涉觀測數據的品質，故於地球上的觀測儀器通常必須配備調適光學系統，或改由大氣層外的太空望遠鏡來觀測，才能得到最優良的影像。在這頻域裏，恆星的可見度非常高。藉著觀測化學頻譜，可以分析恆星、星系和星雲的化學成份。

理論天體物理學家的工具包括分析模型和計算機模擬。天文過程的分析模型時常能使學者更深刻地理解箇中奧妙；計算機模擬可以顯現出一些非常複雜的現象或效應其背後的機制。

大爆炸模型的兩個理論棟樑是廣義相對論和宇宙學原理。由於太初核合成理論的成功和宇宙微波背景輻射實驗證實，科學家確定大爆炸模型是正確無誤。最近，學者又創立了ΛCDM模型來解釋宇宙的演化，這模型涵蓋了宇宙暴脹（cosmic inflation）、暗能量、暗物質等等概念。

理論天體物理學家及實測天體物理學家分別扮演這門學科當中的兩大主力研究者，兩者專業分工。理論天體物理學家通常扮演大膽假設的研究者，理論不斷推陳出新，對於數據的驗證關心程度較低，假設程度太高時，經常會演變成偽科學，一般都是天體物理學研究者當中的激進人士。實測天體物理學家通常本身精通理論天體物理，在相當程度上來說也有能力自行發展理論，扮演小心求證的研究者，通常是物理實證主義的奉行者，只相信觀測數據，經常對理論天體物理學所提出的假說進行證偽或證實的活動，一般都是天體物理學研究者當中的保守人士。

天文學的歷史紀錄雖然很久遠，但是它長期以來都跟物理學分開，直到物理學發展才開始結合起來，主要發展的目的是曆法。

天文學在歷史當中，中國、歐洲、非洲、中東、印度、美洲都有獨立的發展歷史，其中以中國的歷史紀錄長度最久，但是中國並沒有發展出天體物理學，最早有天體物理學研究的紀錄是印度。

也有一種看法認為非洲古代天文學、兩河流域天文學及美洲古代天文學都是由傳說中的姆大陸及亞特蘭提斯所流傳而來的，但是這項說法缺乏考古學上的證據，雖無法證偽，但也無法證實。歐洲天文學主要源自於非洲古代天文學及兩河流域天文學，現代天體物理學是由歐洲天文學建立起來的。

現代天體物理的發展方式多數採取物理數學的方法，先發展相關理論，然後再透過實測天體物理學的技術手段來驗證，並且透過觀測數據來修正理論上的缺失，因此常常會看到由於實測天體物理技術的發展，事後發現理論天體物理的陳述荒唐到完全無法吻合的現象，進而全面修正理論天體物理的模型。實測天體物理扮演天體物理當中最重要的把關及驗證，因此，理論天體物理上的蓋棺論定一向是由實測天體物理來執行，這也使得實測天體物理學家多數都是這個領域當中最保守的菁英人士在運行。

實測天體物理目前持有全球最尖端的科技來進行研究，技術的演進，天體物理實驗數據已經可以採取多種管道獲得，包含了地面各類望遠鏡、太空望遠鏡及太空探測船。此外，由於需求的緣故，實測天體物理學家是目前建造超級電腦的最積極人士，全球最尖端的超級電腦有大批是由實測天體物理學家所建造及持有，其次則是高能物理學家所建造及持有，多數的實測天體物理學家同時也是電腦專家及理論物理學家，經常會透過全球虛擬天文臺的數據互換來進行研究，超級運算的領域當中，有許多出身於實測天體物理學的工作者。

由於網際網路的成熟，目前大部分實測天體物理學家都可以透過全球連線的虛擬天文臺來獲取天文數據，並且在任意舒適的地點進行數據分析研究，目前的天文資料庫數量驚人，尚未進行分析的天文數據，估計可供研究達數百年。僅星系照片便達數千萬顆，95%以上均尚未分類，大部分都還沒有進行過初級的辨識分析，絕大多數的已知星體均尚未進行測距。

現代由於觀測數據過於龐大，估計數百年內都無法分析完成，實測天體物理學家亦開始分工進行數據分析，分為專職進行觀測的研究者及專職進行數據分析的研究者，分工項目相當的細密，並且多數使用分散式運算或超級電腦來進行分析，目前通常一批觀測數據都要處理多年才能完成，往往某類天文重大發現都是在兩三年以前就已經取得觀測數據。

波動速度定義

信號速度永遠不超過真空中的光速。

<1>相速度與超光速：一個波動的相速度可以輕易地超過真空光速c。原則上，甚至是簡單的機械波都可以超過，而且不需要有任何物體是以接近或超過c的速度在移動。然而這和信號或資訊的傳遞速度能否超過c無關。

<2>群速度與超光速：在一些特殊情況下，一個波動（例如光束）的群速度甚至也可以超過c。在這些例子中，會相伴出現的是強度的快速衰減。此脈衝的極大點可以用超過c的速度移動。然而相同地，這也不表示訊號或資訊的傳遞速度可以超過c；雖然有些人會將脈衝極大點與訊號關聯在一起而感到興奮，但目前認為這種關聯性想法是有所誤導的。原因在於：有脈衝到達的資訊可以在極大點到達前就已取得。舉例來說，如果存在有機制允許脈衝前段可以完全傳遞，而包含極大點以後的部份則會被強烈地衰減掉，則可以等效地認為脈衝極大點在時間上往前漂移（加快抵達）；而關於脈衝的資訊，其傳遞並沒有比無機制的狀況下來得快。

<3>能量傳遞速度與超光速：狹義相對論禁止超過c的能量傳遞速度。無靜質量的量子是以c在運行，而有靜質量者則以小於c的速度運行。

資訊傳遞速度與超光速：狹義相對論禁止超過c的資訊傳遞速度。而例如量子力學上目前的新焦點——量子纏結，有人認為可以達到超光速的資訊傳遞，但主流意見認為不可能，頂多只能加快資訊傳遞速度到達近光速。

<4>超過光速的宇宙膨脹：宇宙膨脹使得遠距離的恆星系以超過c的速度彼此遠離，這個速度的度量是採用同移距離（comoving distance）與宇宙時間（cosmological time）來計算的。然而根據廣義相對論，一般所言的速度是個定域性質的標記，光速的限制也是針對這種定義下的速度。因此採用同移座標所算出的速度和定域座標的速度並不存在有任何簡單的關聯性。

<5>天文學觀測到的超光速：明顯的超光速運動在許多電波星系、類星體等等極遠星體可以觀測得到。這效應在觀測到前就已獲得預言，可以用光學幻覺來解釋，原因是星體移動方向和觀察者相同，但做速度計算時卻沒有如此設定。這現象並不違背狹義相對論。有趣地是，經過校正後的計算值顯示這些星體的速度是近光速的（相對於我們的參考系），而且是大質量物體以近光速運動的第一例。在地表上的實驗室，我們尚未能夠將輕如基本粒子的物體加速到這樣的速度。

<6>暴脹理論與光速可變理論：指宇宙大爆炸起初速度遠快於現在光速，又分為經典暴脹理論、混沌暴脹理論和光速可變理論。後者由喬奧·馬古悠提出的，認為以相對論而言是時空結構先行於可見物體，而光是時空結構一部分，所以認為以當時物理條件來說，光仍是遠快於其他物體的擴張，只是光在其時遠比現在更快。而隨著時間的改變，光速逐漸降低到現在的值。

天文學中，超光速運動是一種外顯的超過光速的運動，出現在一些電波星系、類星體中，最近也發現出現在一些稱作微類星體的星系類輻射源。這些來源被認為中心含有黑洞，因此造成了質量體以高速射出。

超光速運動首次發現於1970年代早期，一開始被視為不利於「類星體具有宇宙論尺度距離」說法的一項證據。雖然一些天文物理學家仍為這論點辯解，多數人相信這個大於光速的外顯速度是一種光學錯覺，並不包含任何與狹義相對論相違背的物理學。

對此現象的解釋相當簡單直接，即「光行時間效應」。想像一小團塊物質從銀河系中心出發，並且朝向你極快速地移動，「幾乎」是迎面而來。

當這團塊還在銀河中心時，它發出一些朝向你的光。在它移向你後（並且一點點偏向側邊），並且又再次向你發光，這次的光會花上比較短的時間向你行進，以其離你較近。如果你忽略了這項事實，那麼你就會「低」估了真正的時間間隔（就你的慣性參考系而言），因此你會「高」估速率。

換句話說，若你要計算團塊移動多快，卻假設它移動方向垂直於你與銀河間的連接線，那麼你就會低估時間間隔，因為你忽略了事實上它也朝你移動，而得到數倍於光速的速率。

這現象常見於兩個反向的噴流，一道遠離我們，一道接近我們。若這兩道輻射源，我們都觀測都蔔勒位移，則速度與距離可以被決定，不受其他觀察項目的影響。

早在1983年在卓瑞爾河岸天文臺舉辦的超光速研討會中，就提及了七個超光速噴流：

斯基利齊 ... 發表了解析度達到角秒的噴流圖（顯示大尺度的外在噴流） ... 其中 ... 已經確認了所有的外在雙重架構，除了其中一個已知的超光速源（3C 273）。令人尷尬的是，天球上外在結構的投影尺寸並不小於正常的無線電波源分佈。

換句話說，噴流顯然並不是平均地接近觀測者的視線。（如果是平均接近的話，外顯長度應是遠短於所觀測到的實際長度）。

1993年 Thomson 等人提出，類星體3C273的外部噴流是幾乎和觀測者的視線是共線的。沿著3C273內部噴流觀測到的超光速運動最高達到約9.6倍光速。

在M87星系的噴流較內側部分已觀測到6倍光速的運動。如果要以運動方向和觀測者視線夾角很小的模型來解釋的話，噴流和視線方向夾角不能高於19°。不過觀測證據顯示實際的夾角達到43°。同組的科學家後來修改其結果，並宣稱他們的觀測結果支持噴流中的整體超光速運動。

目前已經有人提出噴流較內部分的亂流或「大錐角」結構嘗試解決相關疑問，並且似乎有相關證據。

在1966年，馬丁·裏斯預測了：「一物體以相對論性速度以及適切方向移動時，對遠方觀察者而言看起來可能像是有遠大於光速的橫向速度。」

幾年後(於1970年)，這樣的輻射源真的被發現了，形式為非常遠處的天文學無線電頻輻射源，例如無線電銀河系與類星體。它們被稱為「超光速輻射源」。這項發現是一項新技術的驚人結果，此技術稱為甚長基線干涉測量（VLBI），允許小於毫角秒的位置決定，並可用在天空中位置變化的決定；這種變化稱為自行(又稱固有運動，proper motion)，為期通常是好幾年。外顯速度的得到是透過將觀察到的自行與距離相乘，可以上達6倍光速。

在一場超光速無線電波源研討會中，Pearson 和 Zensus 的報告稱：

美國和澳大利亞天文學家組成的團隊在1968到1970年間進行的跨太平洋 VLBI 觀測中首次取得了一些電波源結構的改變（Gubbay et al. 1969）。繼早期的實驗後，團隊的天文學家瞭解了 NASA 的 VLBI 的追蹤天線在天文觀測上的潛在能力，並建立了在美國加利福尼亞州和澳大利亞之間的干涉觀測操作能力。天文學家在對3C 279進行觀測時發現了電波源的變化，再結合總輻射流量密度的變化，可得知在1969年首次被觀測到的噴流部分角直徑已經達到1毫角秒，表示它至少以兩倍光速的視速度膨脹。基於裏斯的模型（Moffet et al. 1972 ），結論是該組天文學家的觀測顯示了在噴流的某一運動分量表現了相對論性擴張。雖然這解釋並非唯一的，但在之後被證實了。並且似乎可以公平地說，他們的觀測是第一次超光速擴張的干涉觀測。

在1994年，在取得一項銀河速率紀錄的同時，發現了銀河系的超光速輻射源——宇宙x射線源GRS1915+105。團塊的膨脹時間相對短得許多。許多個別的團塊被偵測到其成對膨脹，一週內常可達0.5角秒。因為與類星體相類比，這樣的輻射源被稱為微類星體。

距離地球最近的恆星系是半人馬座α星（南門二），有4.2光年之遙，以光速來回對地球上的觀察者而言就要花上8.4年，更何況是次光速的太空飛行器。

而科幻的舞臺上很多是發生在比這距離更遙遠的星系間故事，按照相對論，這些故事理應不會發生。科幻理論中常有方法或設定允許太空飛行器迴避相對論限制，航行於廣闊太空的星際之間，而又不天馬行空地明顯違反物理學。

此外，星際間訊息傳遞也有相似的情況。

「蟲洞」可以理解為一種超空間，在卡魯紮-克萊因理論又被稱為多維時空。理論上，「超空間引擎」亦為相同概念的延伸。
根據超空間發動機理論，「超空間引擎」使太空船以超光速飛行，透過磁場扭曲空間，會形成多維空間，但因科技侷限，此理論於目前僅為設想。此外，超空間引擎和曲速引擎最大的差別是：超空間引擎係在超空間中航行；而曲速引擎則是在原空間內。

在弦論中，超空間是指以格拉斯曼數作為座標系的空間，在此之中，超對稱變換可視為超空間中的平移。換句話說，超弦理論的十維時空即為九維格拉斯曼數的超空間加上一個時間維度而成的。

我們通常的空間概念，是指由長、寬、高組成的三維空間。時間本身具有維度的某些特點，例如一條時間軸可以連接無數個3維空間，因此可以認為我們生活在3+1維時空（4維空間）中；但時間與長、寬、高卻是有很大的區別的，例如時間單位與長度單位是不一樣的，因此這還不算真正意義上的多維空間。由於光子只能在三維空間中傳播，人的肉眼無法看到其他可能存在的維度，這就使得對多維空間的探尋非常困難。但是，眾多的科學家、物理愛好者和科幻迷還是提出了各種有關於多維空間的理論。

在平行宇宙理論中，由於存在著無數多個3維宇宙，這些宇宙並不能通過長、寬、高或者時間進行相連，只能通過另外一條維度進行連接，因此平行宇宙本身至少就是一個4+1維時空（5維空間）。

在弦理論中，認為各種基本粒子都是由很小很小的線狀弦組成的，在眾多現象難以用理論解釋的情況下，愛德華·維頓提出了11維空間的概念。

有些人認為，進入黑洞就可以見到神秘的多維幾何體。

如果確實存在多維空間，那麼世界上可以存在以下這些現象。

絕對隱身

普通的隱身僅僅是指一個事物不發光、不反光而使得別人無法看見它，但任何人都可以摸到它。絕對隱身下的物體卻是既不能被看到，也無法被摸到的。如果把螞蟻假設為只能在兩維的地面上移動的生物，再假想有一隻能在三維空間中自由活動的蜻蜓飛在螞蟻的上方，那麼蜻蜓可以看見螞蟻，螞蟻卻無法看到或摸到蜻蜓，蜻蜓就對螞蟻實現了絕對隱身。同樣的道理，如果一個人能夠在多維空間中自由運動，他就可以對那些只能在三維空間中自由移動的人做到絕對隱身。

抄近道

假設某人沿著地面從地球上的南極點步行到地球北極點，顯然要走很長的路，但是一個微中子可以直接從南極點經過地殼、地函、地核穿到北極點，走的路就近了許多，這正是因為它巧妙地運用了第三條維度。根據廣義相對論，空間是彎曲的，我們所生活的這個三維空間很可能是一個四維幾何體的封閉曲面，直接通過長、寬、高的方向從一個天體到另一個天體有很長的距離，如果能藉助第四條維度，那麼就節省了一定距離，也就是抄了近道。在量子物理模型中，多維空間中這種很近的通道又被稱為蟲洞。

多維物體在三維空間中的投影

一個圓片穿過一條線，在這條線上的投影會先變長後變短；一個球體穿過一個平面，在這個平面中的投影會由一個點變成一個越來越大的圓，再重新縮小成一個點。在一個四維空間中，一個點為中心，向各個方向延伸相同的距離，可以形成一個密閉的四維幾何體，我們不妨把這種四維幾何體稱為「四維球」；如果有一個「四維球」穿過我們所生活的三維空間，我們可以看到它在這個三維空間中的投影：首先是一個點，隨後是越來越大的三維球體，球最後又重新縮小成一個點，直至消失。

按數字的維度：負一維、零維、一維、二維、三維、四維、五維、六維 （六自由度）、七維、八維、九維、十維、n維（多維空間）、負維空間。

一維空間是指僅由一個要素構成的空間。就如一張紙上有兩個點把這兩個點連成一條直線，這一條直線沒有高度和深度，只有長度，即“伊面”。數線是其中一個一維空間的例子，借由數線上的單位長度來表示每個點的位置。

二維空間或譯二度空間（Second Dimension）是指僅由寬度→水平線和高度→垂直線（在幾何學中為X軸和Y軸）兩個要素所組成的平面空間，只在平面延伸擴展，同時也是美術上的一個術語，例如繪畫便是要將三維空間的事物，用二維空間來展現。

三維空間（也稱為三度空間、三次元、3D），日常生活中可指由長、寬、高三個維度所構成的空間，而且常常是指三維的歐幾裏得空間。在歷史上很長的一段時期中，三維空間被認為是我們生存的空間的數學模型。當時的物理學家認為空間是平坦的。20世紀以來，非歐幾何的發現使得實際空間的性質有了其他的可能性。而相對論的誕生以及相應的數學描述：閔可夫斯基時空將時間和空間整體地作為四維的連續統一體進行看待。弦理論問世以後，用三維空間來描述現實中的宇宙已經不再足夠，而需要用到更高維的數學模型，例如十維的空間。

要理解四維空間的本性，我們可以通過與低維度類比進行推廣。維數類比是指通過研究n - 1維與n維之間的關係，來推斷n維與n + 1維之間會有什麼樣的關係。愛德溫·阿伯特·阿伯特在他的書平面國中運用維數類比，講述了在一個扁平得就像一張紙的二維世界中生活的一個正方形的故事。在這個正方形的眼中，生活在三維世界中的人們擁有近乎神的力量，因為他們能在不打破（二維的）保險箱的情況下從其中把東西（通過移入移出三維空間的方法）取出，能看到所有在二維世界看來是被擋在牆後面的東西，甚至能站在離二維世界幾英寸的地方來保持“隱形”。通過應用維數類比，人們可以推斷，四維空間中的人在我們三維的視角看來應該有類似的神奇能力。魯迪·拉克在他的小說《空間世界》（Spaceland）中展示了這一點。小說的主人公就遇到了具有神奇能力的四維人。

五維空間是一個包含五個維度的空間。 以物理學的角度來說，五維空間的維度比日常生活中所提到的三維空間以及相對論中的四維時空還要多。五維空間是一種經常在數學中出現的抽象概念。在物理學和數學中，N數位的序列可以理解為表示N維歐幾裏得空間中的位置。 宇宙的維度是否為五維同時也是個辯論的話題。

六維空間 是指任何擁有六個維度的空間，六自由度，並且需要六個資料或座標來指定該空間中的位置。這些座標可以有無限多種 但最有趣的是更簡單的模型的一些方面的環境。 其中最有趣的是六維歐幾裏得空間， 在其之中可構造出六維多胞形以及五維球面。 六維有限空間 以及 雙曲空間同時也被研究，具有恒定的正和負曲率。以狹義來說，六維歐幾裏得空間，ℝ6，是通過將所有實六元數視為該空間的六個向量而生成的。因此，它具有所有歐氏空間的性質，因此它是線性的，具有度量和一組完整的向量操作。特別地，兩個六維向量之間的點積容易定義，並且可以用於計算度量。 6 × 6的點積可以用於描述例如定點旋轉變換的幾何操作。以廣義來說的，任何可以用六個座標描述的空間， 不一定必須要是歐幾裏得空間，但必須是六維的。其中一個例子就是六維球面的表面， S6。這是七維歐幾裏得空間中與原點等距的所有點的集合。 這個約束減少了描述六維球面上的所有的點所需的座標數量，因此它具有六個維度。這種非歐幾裏得空間比歐幾裏德空間更為常見，在六個維度上它們具有更多的應用。

在數學中， 一個n實數的序列可以被理解為n維空間中的一個位置。當n等於七時，所有這樣的位置的集合被稱為 七維空間。 通常這種空間被研究為一個向量空間，而沒有任何距離的概念。 七維歐幾裏得空間是一個配備了一個歐幾裏得距離的七維空間，它由點積定義。更廣義的來說，該術語可以指任何體 (數學)上的七維向量空間，例如七維複向量空間，其實際有著十四個維度。 它同時也可能指七維流形例如七維球面，或其他各種幾何構造。七維空間有許多特殊的屬性，其中許多與八元數有關。 一個特別獨特的屬性是向量積僅可以在三維或七維中定義。 這些皆和胡爾維茲定理相關，它禁止像四元數以及八元數這樣的代數結構在除了1，2,4和8之外的維度的存在。 第一個被發現的異構球體是七維的。

在數學中， 一個n實數的序列可以被理解為n維空間中的一個位置。當n等於八時，所有這樣的位置的集合被稱為 八維空間。 通常這種空間被研究為一個向量空間，而沒有任何距離的概念。 八維歐幾裏得空間是一個配備了一個歐幾裏得距離的八維空間，它由點積定義。更廣義的來說， 該術語可以指任何體上的八維向量空間，例如八維複向量空間，其實際有著十六個維度。 它同時也可能指八維流形例如八維球面，或其他各種幾何構造。

在數學中， 一個n實數的序列可以被理解為n維空間中的一個位置。當n等於九時，所有這樣的位置的集合被稱為九維空間。通常這種空間被研究為一個向量空間，而沒有任何距離的概念。九維歐幾裏得空間是一個配備了一個歐幾裏得距離的九維空間，它由點積定義。更廣義的來說，該術語可以指任何體 (數學)上的九維向量空間，例如九維複向量空間，其實際有著十八個維度。 它同時也可能指九維流形例如九維球面，或其他各種幾何構造。

在拓樸學中，負維空間是將一般的空間維度向負整數的拓展，表示一個維度比零維空間還要低的空間。例如在抽象理論中，以負一維空間來表示維度比零維還小的空多胞形。除了負一維，當然也能有負二、負三甚至更低的維，而維度在此就不能解釋為是數學中獨立參數的數目，而是拓樸空間維度於負數的推廣。