2011-04-07 14:25:13Morris

轉-Size Balanced Tree(SBT)(2)

http://www.nocow.cn/index.php/Size_Balanced_Tree

Size Balanced Tree

来自"NOCOW"


Size Balanced Tree(SBT)是一种平衡二叉查找树。它的论文由中国广东中山纪念中学的陈启峰于2006年底完成,并在Winter Camp 2007中发表。由于SBT的拼写很容易找到中文谐音,它常被中国的OIer们戏称为“傻X树”、“Super BT”等。但它的性能并不SB,编写起来也并不BT。恰恰相反,SBT易于实现,且据陈启峰论文中所言,“这是目前为止速度最快的高级二叉搜索树”。它能在O(logn)的时间内完成所有BST的相关操作。而且由于SBT赖以保持平衡的是Size域而不是其他“无用”的域,它可以很方便地实现动态顺序统计中的select和rank。


性质

Size Balanced Tree(SBT)是一种通过大小(Size)域来保持平衡的二叉搜索树,它也因此得名。它总是满足:
对于SBT的每一个结点 t:

  1. 性质(a) s[right[t] ]≥s[left[left[t]]],s[right[left[t]]]
  2. 性质(b) s[left[t] ]≥s[right[right[t]]],s[left[right[t]]]

即每棵子树的大小不小于其兄弟的子树大小。

image:sbt1.PNG
图1

如图(圈代表结点,三角代表SBT,下同):

  1. s[R] ≥ s[A],s[B]
  2. s[L] ≥ s[C],s[D]

旋转

SBT的旋转(Rotations)与其他许多高级BST相同。它是下面提到的Maintain操作的基础。

image:sbt2.PNG
图2

左旋转

Left-Rotate (t)

1 k ← right[t]
2 right[t] ← left[k]
3 left[k] ← t
4 s[k] ← s[t]
5 s[t] ← s[left[t]] + s[right[t]] + 1
6 t ← k

[编辑] 右旋转

Right-Rotate(t)

1 k ← left[t]
2 left[t] ← right[k]
3 right[k] ← t
4 s[k] ← s[t]
5 s[t] ← s[left[t]] + s[right[t]] + 1
6 t ← k

保持性质(Maintain)

当我们插入或删除一个结点后,SBT的大小就发生了改变。这种改变有可能导致性质(a)或(b)被破坏。这时,我们需要用Maintain操作来修复这棵树。Maintain操作是SBT中最具活力的一个独特过程;Maintain(T)用于修复以T为根的 SBT。调用Maintain(T)的前提条件是T的子树都已经是SBT了。
我们需要讨论的有4种情况。由于性质a和性质b是对称的,所以我们仅仅详细的讨论性质a。

  1. 第一种情况:s[left[left[t]]>s[right[t]]
    image:sbt1.PNG
    图3(同图1)
    如图3,执行完Insert(left[t],v)后发生S[A]>S[R],我们可以执行以下的指令来修复SBT:
    1. 首先执行Right-Ratote(t),这个操作让图3变成图4;
      image:sbt4.PNG
      图4
    2. 在这之后,有时候这棵树还仍然不是一棵SBT,因为 s[C]>s[B] 或者 s[D]>s[B] 也是可能发生的。所以就有必要继续调用Maintian(t)。
    3. 结点L的右子树有可能被连续调整,因为有可能由于性质的破坏需要再一次运行Maintain(L)。

  2. 第二种情况:s[right[left[t]]>s[right[t]]
    image:sbt5.PNG
    图5
    在执行完Insert(left[t],v)后发生s[B]>s[R],如图5,这种调整要比情况1复杂一些。我们可以执行下面的操作来修复:
    1. 在执行完Left-Ratote(L)后,图5就会变成下面图6那样了。
      image:sbt6.PNG
      图6
    2. 然后执行Right-Ratote(T),最后的结果就会由图6转变成为下面的图7。
      image:sbt7.PNG
      图7
    3. 在第1步和第2步过后,整棵树就变得非常不可预料了。万幸的是,在图7中,子树A、E、F和R仍就是SBT,所以我们可以调用Maintain(L)和Maintain(T)来修复结点B的子树。
    4. 在第3步之后,子树都已经是SBT了,但是在结点B上还可能不满足性质a或性质b,因此我们需要再一次调用Maintain(B)。

  3. 第三种情况:s[right[right[t]]>s[left[t]]
    与情况1对称。
  4. 第四种情况:s[left[right[t]]>s[left[t]]
    与情况2对称。



通过前面的分析,很容易写出一个普通的Maintain。

Maintain (t)

01 If s[left[left[t]]>s[right[t]] then //case1
02 Right-Rotate(t)
03 Maintain(right[t])
04 Maintain(t)
05 Exit
06 If s[right[left[t]]>s[right[t]] then //case2
07 Left-Rotate(left[t])
08 Right-Rotate(t)
09 Maintain(left[t])
10 Maintain(right[t])
11 Maintain(t)
12 Exit
13 If s[right[right[t]]>s[left[t]] then //case1'
14 Left-Rotate(t)
15 Maintain(left[t])
16 Maintain(t)
17 Exit
18 If s[left[right[t]]>s[left[t]] then //case2'
19 Right-Rotate(right[t])
20 Left-Rotate(t)
21 Maintain(left[t])
22 Maintain(right[t])
23 Maintain(t)


前面的标准过程的伪代码有一点复杂和缓慢。通常我们可以保证性质a和性质b的满足,因此我们只需要检查情况1和情况2或者情况3和情况4, 这样可以提高速度。所以在那种情况下,我们需要增加一个布尔(boolean)型变量:flag,来避免毫无意义的判断。如果flag是false,那么 检查情况1和情况2;否则检查情况3和情况4。

Maintain (t,flag)

01 If flag=false then
02 If s[left[left[t]]>s[right[t]] then //case1
03 Right-Rotate(t)
04 Else
05 If s[right[left[t]]>s[right[t]] then //case2
06 Left-Rotate(left[t])
07 Right-Rotate(t)
08 Else //needn’t repair
09 Exit
10 Else
11 If s[right[right[t]]>s[left[t]] then //case1'
12 Left-Rotate(t)
13 Else
14 If s[left[right[t]]>s[left[t]] then //case2'
15 Right-Rotate(right[t])
16 Left-Rotate(t)
17 Else //needn’t repair
18 Exit
19 Maintain(left[t],false) //repair the left subtree
20 Maintain(right[t],true) //repair the right subtree
21 Maintain(t,false) //repair the whole tree
22 Maintain(t,true) //repair the whole tree

为什么Maintain(left[t],true)和Maintain(right[t],false)被省略了呢?您可以在陈启峰论文第六部分的分析中找到答案。
其他可以从论文中获得的信息:每次SBT后树的总深度递减的证明;Maintain的平摊运行时间是O(1)的证明(也就是说你不必担心Maintain这个递归过程是否会永不停止)等。

基本操作

查找

SBT的查找操作与普通BST完全相同。下面的过程将返回指向目标节点的指针。

Search(x,k)

1 if x=NULL or k=key[x] //找到了目标节点或目标节点不存在则返回x
2 then return x
3 if k<key[x]
4 then return Search(left[x],k)
5 else return Search(right[x],k)

取大/取小

由于SBT本身已经维护了size,因此这两项可用Select操作完成。

后继

SBT的后继操作与普通BST完全相同。

前趋

SBT的前趋操作与普通BST完全相同。它与上面的后继操作对称。

插入

SBT的插入操作很简单。它仅仅比普通BST的多出了一个Maintain操作和对s的简单维护。下面这个过程将一个节点v插入SBT中。

Insert (t,v)

1 If t=0 then
2 t ← v
3 Else
4 s[t] ← s[t]+1
5 If v<key[t] then
6 Insert(left[t],v)
7 Else
8 Insert(right[t],v)
9 Maintain(t,v≥key[t])

删除

与普通维护size域的BST删除相同。
关于无需Maintain的说明by sqybi:
在删除之前,可以保证整棵树是一棵SBT。当删除之后,虽然不能保证这棵树还是SBT,但是这时整棵树的最大深度并没有改变,所以时间复杂度也不会增加。这时,Maintain就显得是多余的了。

动态顺序统计操作

由于SBT本来就是靠着size域来维持平衡的,当我们进行动态顺序统计操作时,我们就无需去“额外”维护一个size域来进行数据结构的扩张。这样,以下操作就与其他高级BST扩张后的动态顺序统计操作完全一样了。

检索具有给定排序的元素

下面这个过程将返回一个指向以x为根的子树中包含第i小关键字的节点的指针。

Select(x,i)

1 r ← size[left[x]] + 1
2 if(i=r)
3 then return x
4 else if i<r
5 then return Select(left[x],i)
6 else return Select(right[x],i-r)

求元素的秩

SBT的rank操作与普通BST完全相同。

性能分析

SBT的高度是O(logn),Maintain是O(1),所有主要操作都是O(logn)。