Vui hoc THPT

2024-02-19 11:34:18vuihoc

Ôn thi giữa kì 2 môn Toán 12 cần chú ý gì

留言 0 收藏 0 推薦 0

Ôn thi giữa kì 2 môn Toán 12 cần chú ý những trọng tâm kiến thức nào? Tham khảo ngay bài viết để biết các nội dung cần ôn tập cho bài thi giữa kì môn Toán 12 các em nhé!

1. Ôn thi giữa kì 2 môn Toán 12: Trọng tâm kiến thức cần nhớ

1.1 Nguyên hàm

a. Định nghĩa:

- Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x K.

large int f(x)dx=F(x)+C

b. Tính chất

Nếu F(x) có đạo thàm thì:
với k là hằng số khác 0
Công thức biến đổi số: Cho y = f(u) và u = g(x).

Nếu large int f(x)dx = F(x)+C thì large int f(g(x))g'(x)dx=int f(u)du=F(u)+C

c. Các phương pháp tính nguyên hàm

- Phương pháp đổi biến 1: Nếu large int f(x)=F(x)+C và với u = là hàm số có đạo hàm thì large int f(u)du=F(u)+C

+ Phương pháp chung:

Bước 1: Chọn x = , trong đó là hàm số mà ta chọn thích hợp.
Bước 2: Lấy vi phân 2 vế
Bước 3: Biến đổi f(x)dx = f[ ]dt=g(t)dt
Bước 4: Tính

+ Các dấu hiệu thường gặp:

- Phương pháp đổi biến 2: Nếu hàm số f(x) liên tục thì đặt x = . Trong đó cùng với đạo hàm của nó là những hàm số liên tục thì ta được: large int f(x)dx=int f[varphi (t)]varphi '(t)dt=int g(t)=G(t)+C

+ Phương pháp chung:

Bước 1: Chọn t = , trong đó là hàm số mà ta chọn thích hợp.
Bước 2: Tính vi phân 2 vế dt =
Bước 3: Biểu thị f(x)dx = f[]=g(t)dt
Bước 4: Khi đó:

+ Các dấu hiệu thường gặp:

- Nguyên hàm từng phần: Nếu u(x), v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K:

large int u(x).v'(x)dx=u(x).v(x)-int v(x).u'(x)dx

+ Phương pháp chung:

Bước 1: Biến đổi tích phân ban đầu về dạng:

$large I=int f(x)dx=int f_{1}(x).f_{2}(x)dx$

Bước 2: Đặt:

$large left{begin{matrix} u=f_{1}(x) & \ dv=f_{2}(x) & end{matrix}right.rightarrow left{begin{matrix} du=f_{1}^{'} (x)dx& \ v=int f_{2}(x)dx & end{matrix}right.$

Bước 3: Khi đó:

1.2 Tích phân

a. Định nghĩa tích phân

$large int_{a}^{b}f(x)dx=F(x)|_{a}^{b}=F(b)-F(a)$

b. Tính chất

- Giả sử cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên K, a,b,c là ba số bất kỳ thuộc K. Khi đó:

$large int_{a}^{b}f(x)dx=0$
$large int_{a}^{b}f(x)dx=-int_{b}^{a}f(x)dx$
$large int_{a}^{b}f(x)dx=int_{a}^{c}f(x)dx+int_{c}^{b}f(x)dx$
$large int_{a}^{b}[f(x)pm g(x)]dx=int_{a}^{b}f(x)dxpm int_{a}^{b}g(x)dx$
$large int_{a}^{b}kf(x)dx=k.int_{a}^{b}f(x)dx$
Nếu f(x) 0 thì $large int_{a}^{b}f(x)dxgeqforall xin [a;b]$
Nếu : f(x) g(x) => $large int_{a}^{b}f(x)dxgeq int_{a}^{b}g(x)dx$
Nếu Nếu M f(x) N thì M(b-a) $large int_{a}^{b}f(x)dx$ N(b-a)

c. Các phương pháp tính tích phân

- Phương pháp biến đổi dạng 1: Nếu

Hàm x = u(t) có đạo hàm liên tục trên đoạn
Hàm hợp f(u(t)) được xác định trên
u() = a ; u() = b

$large Rightarrow I = int_{a}^{b}f(x)dx=int_{alpha }^{beta }f(u(t))u'(t)dt$

+ Phương pháp chung:

Bước 1: Đặt x = u(t)
Bước 2: Tính vi phân 2 vế x = u(t) => dx = u'(t)dt. Đổi cận: $large begin{vmatrix} x=b & \ x=a& end{vmatrix}Rightarrow begin{vmatrix} t=beta & \ t=alpha & end{vmatrix}$
Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t.

- Phương pháp biến đổi dạng 2: Nếu hàm số u = u(x) đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b] sao cho f(x)dx=g(u(x))u'(x)dx = g(u)du thì: $large I=int_{a}^{b}f(x)dx=int_{u(a)}^{u(b)}g(u)du$

+ Phương pháp chung:

Bước 1: Đặt u = u(x) => du = u'(x)dx
Bước 2: Đổi cận $large begin{vmatrix} x=b & \ x=a& end{vmatrix}Rightarrow begin{vmatrix} u=u(b) & \ u=u(a)& end{vmatrix}$
Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến u.

- Tích phân từng phần: Nếu u(x) và v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên [a;b] thì:

$large int_{a}^{b}u(x)v'(x)dx=(u(x)v(x))|_{a}^{b}-int_{a}^{b}v(x)u'(x)dx$

+ Phương pháp chung:

Bước 1: Viết f(x)dx dưới dạng udv = uv'dx bằng cách chọn một phần thích hợp của f(x) làm u(x) và phần con lại dv = v'(x)dx
Bước 2: Tính và
Bước 3: Tính $large int_{a}^{b}vu'(x)dx$ và $large uv|_{a}^{b}$

1.3 Mặt tròn xoay

a. Mặt nón tròn xoay

- Cho hình nón có chiều chao h, bán kính đấy r và đường sinh là l có:

Diện tích xung quanh: Sxq =
Diện tích đáy hình tròn: Sd = $large pi r^{2}$
Diện tích toàn phần: Stp = Sxq + Sd
Thể tích hình nón: $large V=frac{1}{3}S_{d}.h=frac{1}{3}pi r^{2}h$

b. Mặt trụ tròn xoay

- Cho hình trụ có chiều cao là bán kính đáy bằng r, khi đó:

Diện tích xung quanh hình trụ: Sxq =
Diện tích toàn phần của hình trụ: Stp = Sxq + 2Sd = $large 2pi rh+2pi r^{2}$
Thể tích khối trụ: V = B.h = $large pi r^{2}h$

c. Mặt cầu, khối cầu

- Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng:

- Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng:

1.4 Hệ tọa độ trong không gian

a. Trong không gian cho ba trục Ox, Oy, Oz phân biệt và vuông góc từng đôi một. Gốc tọa độ O, trục hoàn Ox, trục tung Oy và trục cao Oz. Các mặt tọa độ Oxy, Oyz, Ozx có là các véc tơ đơn vị.

b. Tọa độ véc tơ:

c. Tọa độ điểm:

d. Các công thức tọa độ cần nhớ: Cho

$large overrightarrow{u}=overrightarrow{v}Leftrightarrow left{begin{matrix} a=a' & & \ b=b' & & \ c=c'& & end{matrix}right.$
$large cos(overrightarrow{u},overrightarrow{v})=frac{overrightarrow{u}.overrightarrow{v}}{|overrightarrow{u|}.|overrightarrow{v}|}=frac{aa'+bb'+cc'}{|overrightarrow{u}|.|overrightarrow{v}|}$
$large |overrightarrow{u}|=sqrt{overrightarrow{u}^{2}}=sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$
$large overrightarrow{AB}=(x_{B}-x_{A};y_{B}-y_{A};z_{B}-z_{A})$
$large AB=|overrightarrow{AB}|=sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}+(z_{B}-z_{A})^{2}}$

e. Góc giữa hai véc tơ: $large sin(overrightarrow{u},overrightarrow{v})=sqrt{1-cos^{2}(overrightarrow{u},overrightarrow{v})} geq 0$

f. Chia tỉ lệ đoạn thẳng: M chia AB theo tỉ số k nghĩa là

- Công thức tọa độ điểm M là:

$large left{begin{matrix} x_{M}=frac{x_{A}-kx_{B}}{1-k} & & \ y_{M}=frac{y_{A}-ky_{B}}{1-k} & & \ z_{M}=frac{z_{A}-kz_{B}}{1-k} & & end{matrix}right.$

- M là trung điểm AB: $large overrightarrow{MA}+overrightarrow{MB}=overrightarrow{0}Rightarrow left{begin{matrix} x_{M}=frac{x_{A}+x_{B}}{2} & & \ y_{M}=frac{y_{A}+y_{B}}{2}& & \ z_{M}=frac{z_{A}+z_{B}}{2}& & end{matrix}right.$

g. G là trọng tâm tam giác ABC:

h. G là trọng tâm tứ diện ABCD:

1.5 Phương trình mặt phẳng

a. Phương trình mặt phẳng tổng quát của mp (P) đi qua điểm M (xo;yo;zo) có véc tơ pháp tuyến = (A;B;C) là:

A(x - xo) + B(y - yo) + C(z - zo) = 0

b. Triển khai phương trình tổng quát: Ax + By + Cz + D = 0 ( A,B,C không đồng thời bằng 0).

c. Các trường hợp riêng của phương trình tổng quát:

(P) qua gốc tọa độ
(P) song song hoặc trùng (Oxy) A = B = 0
(P) song song hoặc trùng (Oyz) B = C = 0
(P) song song hoặc trùng (Ozx) A = C = 0
(P) song song hoặc chứa Ox A = 0
(P) song song hoặc chứa Oy B = 0
(P) song song hoặc chứa Oz C = 0
(P) cắt Ox tại A(a,0,0), cắt Oy tại B(0,b,0) và cắt Oz(0,0,c) $large Leftrightarrow frac{x}{a}+frac{y}{b}+frac{z}{c}=1$

d. Khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng:

- Cho M (xo;yo;zo) và (P): Ax + By + Cz + D = 0

$large d(M,(P))=frac{|Ax_{o}+By_{o}+Cz_{o}|}{sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}$

2. Những dạng bài thường gặp khi ôn thi giữa kì 2 môn Toán 12

2.1 Bài tập nguyên hàm

a. Tìm nguyên hàm của hàm số

Cách làm: Biến đổi các hàm số dưới dấu nguyên hàm về dạng tổng, hiệu của biểu thức chứa x rồi đưa về dạng cơ bản có trong bảng nguyên hàm. Áp dụng công thức và tính.

Ví dụ: Tìm nguyên hàm củ hàm số large int x(3sqrt{x}-2)dx

Lời giải:

large int x(3sqrt{x}-2)dx

$large =int (3xsqrt{x-2x})dx=int (3xfrac{3}{2})dx$

$large =3frac{xfrac{5}{2}}{frac{5}{2}}-2frac{x^{2}}{2}+C=frac{6}{5}x^{2}sqrt{x}-x^{2}+C$

b. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số

- Cách làm:

- Ví dụ: Tìm họ nguyên hàm sau $large int frac{x^{3}}{1+x^{2}}dx$

Lời giải:

Xét $large int frac{x^{3}}{1+x^{2}}dx=int frac{x^{2}}{1+x^{2}}xdx$

Đặt t = 1 + x2 => dt = 2xdx

$large Rightarrow frac{1}{2}dt=xdx ; x^{2} = t-1$

Khi đó: $large int frac{x^{2}}{1+x^{2}}xdx=frac{1}{2}int frac{t-1}{t}dt$

$large =frac{1}{2}int (1-frac{1}{t})dt=frac{1}{2}(t-ln|t|)+C$

Như vậy $large int frac{x^{3}}{1+x^{2}}dx$

$large =frac{1}{2}(1+x^{2}-ln|1+x^{2}|)+C$

c. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần

- Cách làm: Áp dụng phương pháp nguyên hàm từng phần theo công thức: large int udv=uv-int vdu

+ Một số trường hợp thường gặp:

- Ví dụ: Tìm họ nguyên hàm của large int xsindx

Lời giải: Xét large int xsindx

Đặt: u = x => du = dx ; dv = sinxdx => v = -cosx

Theo công thức nguyên hàm từng phần ta có:

large F(x)=int xsinxdx = -xcosx+int cosxdx = -cosx+sinx+C

d. Tìm nguyên hàm của hàm số hữu tỉ

- Cách giải: Xét bài toán tổng quát:

$large I=int frac{P(x)}{Q(x)}dx$ với P(x), Q(x) là các đa thức không căn.

+ Nếu bậc của P(x) bậc của Q(x) => Áp dụng phương pháp chia đa thức.

+ Nếu bậc của P(x) bậc của Q(x) => Xem xét mẫu số và khi đó:

Mẫu số phân tích được thành tích số => đưa về dạng tổng các phân số .

Mẫu số không phân tích được thành tích số => đưa về dạng lượng giác.

- Ví dụ: Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số:

$large I=int frac{x^{3}-1}{x+1}dx$

Lời giải:

Ta có: $large frac{x^{3}-1}{x+1}=frac{x^{3}+1-2}{x+1}=x^{2}-x+1-frac{2}{x+1}$

$large Rightarrow I=int (x^{2}-x+1-frac{2}{x+1})dx=frac{x^{3}}{3}-frac{x^{2}}{2}+x-2ln|x+1|+C$

e. Tìm nguyên hàm thỏa mãn điều kiện cho trước

- Cách làm: Thực hiện theo 3 bước dưới đây:

Bước 1: Tìm nguyên hàm dựa vào các phương pháp đã biết như dùng bảng nguyên hàm, biến đổi số, nguyên hàm từng phần...
Bước 2: Dựa vào yêu cầu đề bài tìm hằng số C tương ứng.
Bước 3: Kết luận nguyên hàm vừa tìm được.

- Ví dụ: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)=(4x+1) ex thỏa mãn điều kiện F(1)=e.

Lời giải: Đặt u = 4x + 1 => du = 4dx ; dv = exdx => v = ex

$large Rightarrow int (4x+1)e^{x}dx=(4x+1)e^{x}-int 4e^{x}dx$

$large =(4x+1)e^{x}-4e^{x}+C=(4x-3)e^{x}+C$

Mà F(1) = e => C = 0 nên F(x) = (4x - 3).ex

2.2 Bài tập tích phân

a. Bài tập biến đổi tổng - hiệu các tích phân cơ bản:

Tính tích phân $large I=int_{1}^{2}frac{2x+1}{x(x+1)}dx$

Lời giải:

$I=int_{1}^{2}frac{2x+1}{x(x+1)}dx=int_{1}^{2}left ( frac{1}{x+1} +frac{1}{x}right )dx=[lnx(x+1)]_{1}^{2}=lnfrac{6}{2}=ln3$

b. Tính tích phân bằng phương pháp biến đổi số

Tính tích phân $large I=int_{1}^{e}xlnxdx$

Lời giải:

Đặt $large left{begin{matrix} u=lnx & \ dv=xdx& end{matrix}right.Rightarrow left{begin{matrix} du=frac{dx}{x} & \ v=frac{x^{2}}{2} & end{matrix}right.$

$large int_{1}^{e}xlnxdx=frac{x^{2}}{2}lnx|_{1}^{e}-frac{1}{2}int_{1}^{e}xdx$

$large =frac{e^{2}}{2}-frac{x^{2}}{4}|_{1}^{e}=frac{e^{2}+1}{4}$

2.3 Bài tập mặt tròn xoay

Bài 1: Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO. Gọi A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy của hình
nón sao cho khoảng cách từ O đến AB bằng 2 và $large widehat{SAO}=30^{o}$ ; $large widehat{SAB}=60^{o}$ . Tính diện tích xung quanh của hình nón đó.

Lời giải:

Gọi I là trung điểm của AB => OI AB ; SI OI = 2.

Lại có:

$large left{begin{matrix} AO=SAcosSAO=SAfrac{sqrt{3}}{2} & \ AI =SAcosSAI=frac{SA}{2} & end{matrix}right.$

Từ đó ta có: $large frac{AI}{AO}=frac{1}{sqrt{3}}$

Lại có: $large frac{AI}{AO}=cosIAORightarrow sinIAO=frac{sqrt{6}}{3}=frac{2}{OA}Rightarrow OA=sqrt{6}$

Mà $large SA=frac{OA}{cos30}=sqrt{6}frac{2}{sqrt{3}}=2sqrt{2}$

Bài 2: Cho hình tròn có bán kính là 6. Cắt bỏ 1/4 hình tròn giữa 2 bán kính OA, OB, rồi ghép 2 bán kính đó lại sao cho thành một hình nón (như hình vẽ). Tính thể tích khối nón tương ứng đó?

Lời giải:

Bán kính: $large r=frac{frac{3}{4}12pi }{2pi =frac{9}{2}$

Chiều cao: $large h=sqrt{l^{2}-r^{2}}=frac{3sqrt{7}}{2}$

Thể tích khối nón:

$large V=frac{1}{3}pi r^{2}h=frac{81pi sqrt{7}}{8}$

2.4 Bài tập về tọa độ

Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, Cho . Gọi P là điểm
đối xứng với M qua N . Tìm tọa độ điểm P

Lời giải: Ta có

Vì P là trung điểm đối xứng với M qua N nên N là trung điểm của MP nên ta có:

$large left{begin{matrix} x_{P}=2x_{N}-x_{M}=5 & & \ y_{P}=2y_{N}-y_{M}=9 & & \ z_{P}=2z_{N}-z_{M}=-10 & & end{matrix}right.=> P(5,9,-10)$

Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Biết điểm A, B', C, D' có tọa độ như hình vẽ. Khi đó 2a + b + c bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Ta có:

$large left{begin{matrix} overrightarrow{A'D'}=(1-a;-1-b;1-c)& & & \ overrightarrow{A'B'}=(2-a;1-b;2-c)& & & \ overrightarrow{A'A}=(1-a;-b;1-c)& & & \ overrightarrow{A'C}=(4-a;5-b;-5-c) & & & end{matrix}right.$

Theo quy tắc hình hôp, ta có:

$large Leftrightarrow left{begin{matrix} 4-a=4-3a & & \ 5-b=2-4b & & \ -5-c=3-3c& & end{matrix}right.Leftrightarrow left{begin{matrix} a=0 & & \ b=-1& & \ c=4 & & end{matrix}right.$

Vậy 2a + b + c = 3.

2.5 Bài tập về phương trình mặt phẳng

a. Phương trình mặt phẳng:

- Cách làm: Phương trình:Ax + By + Cz + D = 0 là phương trình của một mặt phẳng khi và chỉ khi A2 + B2 + C2 > 0.

b. Viết phương trình mặt phẳng:

- Cách làm 1: Thực hiện theo các bước:

Bước 1: Xác định Mo(xo; yo;zo) và véc tơ pháp tuyến $large overrightarrow{n}(n_{1};n_{2};n_{3})$ của (P).
Bước 2: Khi đó (P) đi qua điểm Mo(xo; yo;zo) và có $large overrightarrow{n}(n_{1};n_{2};n_{3})$
Bước 3: PT mặt phẳng (P): n1(x - xo) + n2(y - yo) + n3(z - zo) = 0

- Cách làm 2: Sử dụng phương pháp quỹ tích.

c. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

- Cách làm: Sử dụng kiến thức trong phần vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Chúc các em nắm vững trọng tâm đề cương ôn thi giữa kì 2 môn toán 12 chi tiết và làm bài thi giữa kì thật tốt! Hy vọng bài viết sẽ giúp các em nắm được những những kiến thức trọng tâm cần phải nhớ, chuẩn bị thật tốt cho bài kiểm tra giữa kì 2 môn toán. Truy cập vuihoc.vn để xem thêm các bài ôn tập các môn học khác nhé!

Nguồn:

https://vuihoc.vn/tin/thpt-de-cuong-on-thi-giua-ki-2-mon-toan-12-chi-tiet-2598.html

Vui hoc THPT

Ôn thi giữa kì 2 môn Toán 12 cần chú ý gì

1. Ôn thi giữa kì 2 môn Toán 12: Trọng tâm kiến thức cần nhớ

1.1 Nguyên hàm

1.2 Tích phân

1.3 Mặt tròn xoay

1.4 Hệ tọa độ trong không gian

1.5 Phương trình mặt phẳng

2. Những dạng bài thường gặp khi ôn thi giữa kì 2 môn Toán 12

2.1 Bài tập nguyên hàm

2.2 Bài tập tích phân

2.3 Bài tập mặt tròn xoay

2.4 Bài tập về tọa độ

2.5 Bài tập về phương trình mặt phẳng

你可能感興趣的文章

免費文明的五個隱藏階級

《同志社と台湾》(同志社與台灣)---2

冬之幽靈

修行人

韌性