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2013-08-30 06:30:44格勒菜園

芥子納須彌、一沙一世界：自然界中的隱藏維度

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〈數學之美：分形圖形〉

1. 從文學到科學的『一沙一世界』

英國詩人威廉‧布萊克(William Blake)在其作品《天真之歌》(Auguries of Innocence)中，寫出了有名的四句詩：

一沙一世界

(To see a world in a grain of sand),

一花一天堂

(And a heaven in a wild flower),

掌中握無限

(Hold infinity in the palm of your hand),

剎那即永恆

(And eternity in an hour).

這首詩描述一個由小看大的意境：透過一粒沙子可以看到整個世界，在一朵花中可以看到整個天堂；將無窮握在掌股之中，一個瞬間即是那永恆。沙子和花朵都很小，卻可容下整個世界，整個天堂。

比布萊克早一千年，唐代龐蘊居士在他的一首偈中已領悟到與『一沙一世界』相同的意境︰「一念心清靜，處處蓮花開，一花一淨土，一葉一如來。」而這首偈的源頭又可追溯至《華嚴經》︰「佛土生五色莖，一花一世界，一葉一如來。」《華嚴經》看待這個宇宙世界像是一朵蓮，每一花瓣上生有一千蓮葉，而每一葉上又生出一朵蓮花，共有一千朵。於是花中有葉，葉中有花，整個宇宙如此層層疊疊，一體相連，於是叫「華藏世界」。如此看來，布萊克的『一沙一世界』可視為是「西方通俗版」的華嚴思想。

同樣表達出『人在宇宙中，宇宙在人中』意境的，還有佛教的名句：《維摩詰所說經》〈不思議品〉「須彌藏芥子，芥子納須彌」。高大如須彌山者仍可被縮小到能放入芥子的程度，而須彌山的本質仍然不變。此句話指出了芥子內部所具有的隱藏維度，而當我們進入這個隱藏維度時，看到的山還是山、海還是海，就跟我們在巨觀世界所看到的山海完全一樣。隱藏維度內的場景正是所謂的『萬象森羅藏芥子，十方法界攝毫端』。

如果不易想像巨大的須彌山如何藏在芥子之中，我們來看一個活生生的實例:『細胞中藏有人』。人體的複雜是因為其由多達50兆個細胞所構成，相同功能的細胞先聚集形成組織，幾種不同的組織合成器官，幾種不同的器官再組成人體的系統。人體的簡單是因為這50兆個細胞當初都是由同一個受精卵細胞不斷複製、分裂而來。所以每一個細胞內的染色體都完全相同，而且每一個單獨的細胞都包含著有關人體的全部信息。每一個獨立的細胞都可以複製出一個一模一樣的人，所以一個個細胞都是一個個的人，五官、七竅、骨骼、毛髮、五臟、六腑、四肢、皮肉一件都不少。當我們觀察人體的尺度縮小到細胞層級時，仍然會看到一個相同的人體，所以說『細胞中藏有人』。

綜合以上所述，我們從文學藝術觀點，在一顆沙粒中看到全世界；我們從生命醫學觀點，在一個細胞中看到整個人；我們從佛學的觀點，從芥子中看到森羅萬象；我們從天人合一觀點，在一個人身中看到全宇宙。這些觀點所描述的對象雖然都不同，但卻表達了相同的中心理念:『局部與整體的相似性』。局部不管有多小，哪怕是小到只有整體的一兆分之一，局部都含有整體的全部資訊。這種局部與整體的相似性在科學上稱為『自我相似性』(self-similarity)。

詩人、文人、禪師、科學家從不同的角度觀察微小事物，都發現其內部的複雜性，似乎都看到了物中有物的意境。『物中有物』用數學的語言來說，就是在平常四維時空的表面下，隱藏著某些看不到的新維度。統一量子力學及廣義相對論的超弦理論就曾預測額外六個新維度的存在。最近天文學家對於黑暗物質的研究，取得了這些高維度空間存在的有力證據。不過，為什麼我們沒有辦法感受到其它維度的存在呢？科學家認為，因為這些維度『被捲起來了』，它們被捲的非常緊，卷的非常的微小(小於1奈米，10^-9公尺)，以致於我們沒辦法看到，也沒有辦法進入。

2. 海中有沙粒，沙粒中有內海，內海中復有沙粒

既然自然界中的隱藏維度被捲入比1奈米還小的空間內，如果我們用顯微鏡加以放大，是不是就可以看到第五度、第六度的隱藏空間了？尤其是現在高科技的掃描穿隧顯微鏡(STM, Scanning Tunneling Microscope)可以將奈米大小的原子放大到像棒球一般大，是否原先隱藏的高度空間就無所遁形了呢？答案是否定的。就如同大家所知道的，原子、分子或是比原子小很多的電子都是存在於我們所處的四維空間之內，只是它們比較小罷了。低度空間的生命無法看到高度空間的情境，這本就是物質世界的先天限制，是無可奈何的事情。

用電腦模擬沙中的世界，發現不管放大幾倍，精細結構的內部還存在著更精細的結構

對於圖1的6個子圖所描述的現象，我們可做如下的對應詮釋：

沙粒中有無數內海，內海中又有沙；沙中復有內海，如是重覆無窮盡。

像這種『沙中有海，海中復有沙』的層狀結構在《大方廣佛華嚴經》中有一段完全一樣的描述：

『一一微塵中，各現無邊剎海；剎海之中，復有微塵；彼諸微塵內，復有剎海；如是重重，不可窮盡。』

以上經文的最後一句『如是重重，不可窮盡』是碎形結構精義之所在，而我們在第一節中所提及的隱藏高維度空間，正是表現在這種『如是重重，不可窮盡』的層狀結構之中。

3. 自然界處處有隱藏維度

具有分數維數的幾何體被稱為『分形』或『碎形』(Fractal)，是直到1975年才由曼德博所發現，如圖1a所示。他把碎形定義為Hausdorff維數大於其自身拓樸維數的集合。碎形的觀念被提出來後，人們逐漸發現自然界中竟然到處是碎形的實例：彎彎曲曲的海岸線、起伏不平的山脈輪廓、變幻無常的浮雲邊界、河流、血管、霜花、滿天繁星等等，這些都是歐幾里得幾何所處理不了的幾何圖形。『碎形』就是指這類破碎而複雜，但有『自我相似性』(Self-similarity)的幾何體。

1975年曼德爾布羅特(B. Mandelbrot)提出碎形幾何(Fractal Geometry，也稱為分形)的觀念，發現碎形體的維度可以不必是整數。這些年來科學家陸續發現，海岸線、山脈輪廓、浮雲邊界、河流、血管、雪花、繁星等等，這些最平常的自然圖案原來都是碎形體，它們的維度都不是整數。例如海岸線，既是線，它的原本維度應是1，但經過測量與計算，海岸線的維度卻是1.52，這多出來的0.52維度就是海岸線的隱藏維度。而這一隱藏維度在越小越精細的尺度下，越能看得清楚。原來我們平常所看到的維度，只是事物的巨觀維度；在非常精細的尺度下來觀察，事物將呈現它們的隱藏維度。如果我們將巨觀維度當成是陽的維度，那麼隱藏維度即是陰的維度。

令人好奇的是隱藏維度內部是隱藏了什麼事物呢？研究發現隱藏維度內的事物正是巨觀維度事物的複製，而且不管將隱藏維度放大幾倍，所看到的結構和巨觀維度完全一模一樣。此即碎形幾何的自我相似性(self-similarity)，也是大自然全息性的再現。古代哲人很早就意識到自然界的許多事物，其整體與局部存在著某種相似性。諸如華嚴經：『一花一世界，一葉一如來』；周易：『無極生太極，太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦』；楞嚴經：『於一毫端，現十方剎；坐微塵裡，轉大法輪』。這些思想都體現了局部隱含著整體的痕跡，也是陽(巨顯維度)中有陰(微隱維度)，陰中有陽的最佳寫照。

4. 碎形維度的計算〈略〉

5. 自我相似性與全息理論

自我相似性與尺度無關性是自然界中任何碎形的共同性質。吾人可以用一種簡單的碎形觀念解釋中許許多多不同的景象，這說明了看似複雜的自然界，其實是由一種簡單的機制所產生的。自然界的複雜來自於碎形的無窮盡的內藏結構；自然界的簡單來自於碎形DNA自我複製的簡單機制。

生命的成長正是融合了碎形的簡單與複雜。人體的複雜是因為其由多達一百三十萬億個細胞所構成，相同功能的細胞先聚集形成組織，幾種不同的組織合成器官，幾種不同的器官再組成人體的系統。人體的簡單是因為這一百三十萬億個細胞當初都是由同一個受精卵細胞不斷複製、分裂而來。所以每一個細胞內的染色體都完全相同，而且每一個單獨的細胞都包含著有關人體的全部信息。每一個獨立的細胞都可以複製出一個一模一樣的人，所以一個個細胞都是一個個的人，五官、七竅、骨骼、毛髮、五臟、六腑、四肢、皮肉一件都不少。當我們觀察人體的尺度縮小到細胞層級時，仍然會看到一個相同的人體，這說明了人體本身就是一種碎形結構。在圖1中，將一粒沙子放大一億倍來看，吾人看到裡面藏著一顆一模一樣的沙子。所以從一顆沙看到整個世界，其道理和從一個細胞中看到整個人是完全一樣的，它們所反映的都是碎形結構的自我相似性。

不管是文學的『一沙一世界』，還是華嚴宗的『一花一世界』，都體現了局部隱含著整體的痕跡，所要表達的都是「整體存在於每一部份」的思想。受到華嚴宗思想的啟發，現代物理師大師玻姆 (David, Bohm)提出了『全息論』(Holographic Paradigm)的觀點。全息論認為宇宙是一個不可分割的、各部分之間緊密關聯的整體，任何一個部分都包含整體的信息。碎形結構的自我相似性正是大自然全息性的表現，而『人』與『天』既是大自然的一部分，必具有自我相似的特性，二者也應都能反映大自然整體的訊息。玻姆進而引伸推論，我們肉眼所見的三維物質世界的獨立個體，實際上是更高維度整體的一個投影，由於我們不能看到更高維度的整體性，而誤以為我們所看到的一個個人或物是獨立的個體，而實際上他們都是相關聯整體的一部分。

全息論在生物學的應用則衍生出全息生物學。從胚胎學觀點看，由於在受精卵通過有絲分裂分化為體細胞的過程中，DNA經歷了半保留複製過程，所以體細胞也獲得了與受精卵相同的一套基因，它也有發育成一個新機體的潛能。這在植物界表現得十分明顯，如在吊蘭長出軟藤的末端或節枝處，可以萌發出一棵棵完整的植株。又如切下一塊長芽的馬鈴薯，便可培育出一棵馬鈴薯，而一個關於『任何一個部分都包含整體信息』的更有力證據是用胡蘿蔔的一個分離細胞或細胞團成功地培養出一棵胡蘿蔔植株。

6. 全像攝影與網際網路：全息理論的工程實現〈略〉

7. 時空全息：碎形時空結構的證據〈略〉

8. 結論

從古迄今，從文學、哲學、宗教、科學各個不同角度出發，所觀察到的空間全息、時間全息、時空全息等諸現象全部都導向同一結論：我們所處的宇宙具有碎形的時空結構。...........

為什麼海岸線皺褶內還有皺褶？為什麼浮雲、山巒、DNA分子、大腦皮質等等這麼多的大自然界內的物質也都是皺褶內還有皺褶？如果是偶發事件不可能會導致多麼多的雷同。究其本源是因為它們所處的時空背景，本質上就是皺褶遍佈高低起伏的。時空的皺褶起伏是要在非常微細的尺度下才看的到，也唯有非常微細的粒子才會受到時空上下起伏的影響。自然界內的巨觀物質表面上感受不到時空的皺褶，但巨觀物質終究是由微觀粒子組合而成的，當微觀粒子緊貼著皺褶的時空向外堆砌形成巨觀物質時，巨觀物質的邊緣線自然會隱約呈現其內部時空的皺褶。也就是說我們在自然界中所觀察到的這些五花八門的碎形圖案，實際上是微觀的碎形時空向外堆砌成巨觀物質時，所殘留的遺跡。

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