2006-08-21 11:12:45Tiff
TRML-2006 個人賽 參考解法
I-1.
16^[cos²x +2sin²x]+4^[2cos²x]=40
16^[1+sin²x]+16^[cos²x]=40
16^[1+sin²x]+16^[1-sin²x]=40
16×[16^sin²x+16^-sin²x]=40 令t =sin²x
16×[16^t+16^-t]=40
16^t+16^-t =5/2 同乘以16^t
(16^t)^2-5/2(16^t)+1=0
16^t =2,1/2
sin²x=t=±1/4 負不合
sin²x=1/4
sinx=±1/2 負不合，π/2
tanx=sinx/cosx=1/-√3=-1/√3#
I-2.
[6log√2 x-8]/[1+4(log2 x)²] 以log√2 x表示log根號2取x
=[12log2 x-8]/[1+4(log2 x)²] 令t =log2 x
=[12t-8]/[1+4t²]
求[12t-8]/[1+4t²]的導數，並使其等於0
d/dt{[12t-8]/[1+4t²]}={12[1+4t²]-8t[12t-8]}/[1+4t²]²=0 其中[1+4t²]²≠0
12[1+4t²]-8[12t-8]=0
12[1+4t²]=8t[12t-8]
3(1+4t²)=2t[12t-8]
3+12t²=24t²-16t
12t²-16t-3=(6t+1)(2t-3)=0
log2 x=t=3/2,-1/6 負不合
當log2 x=3/2時有極(最)大值
即當x=2³/²=2√2時有最大值
∴a=2√2#
I-3.
m²n=m²+n+14
m²n-m²-n+1=15
(m²-1)(n-1)=15
其中可滿足m,nЄZ者有
(m,n)=(4,2),(2,6),(0,-14)
m+n=8,6,-14 最大值為8#
I-4.
11x+√3y=kx ∴k=(11x+√3y)/x
√3x+13y=ky ∴k=(√3x+13y)/y
∴k=(11x+√3y)/x=(√3x+13y)/y
(11x+√3y)y=(√3x+13y)x
11xy+√3y²=√3x²+13xy
√3x²+2xy-√3y²=(√3x-y)(x+√3y)=0
y=√3x或x=-√3y
以y=√3x代入11x+√3y=kx和√3x+13y=ky
得x,y=0或k=14
以x=-√3y代入11x+√3y=kx和√3x+13y=ky
得x,y=0或k=10
又x²+y²=1且x=0,y=0充要 ∴x,y≠0 ∴k=14,10 ∴k的max為14#
I-5.
設AB=c,AC=b,AH=h
△ABC=1/2bcsin45˚=1/2×5×h ∴bc=5√2h 面積公式
c²-2²=b²-3²=h² ∴b²+c²=2h²+2²+3² 畢氏定理
5²=b²+c²-2bccos45˚=2h²+2²+3²-2×5√2h×(1/√2) 餘弦定理
25=2h²+13-10h
2h²-10h-12=0
h²-5h-6=(h-6)(h+1)=0
h=6,-1 負不合
△ABC=1/2×5×h=1/2×5×6=15#
I-6.
2006x+y=4xy(x²+y²)=xy(4x²+4y²)
2006x-y=2xy(x²-y²)=xy(2x²-2y²)
兩式相加得2×2006x=xy(6x²+2y²) 又x≠0 ∴2006=y(3x²+y²)=3x²y+y³
兩式相減得2y=xy(2x²+6y²) 又y≠0 ∴1=x(x²+3y²)=x³+3xy²
2006=y(3x²+y²)=3x²y+y³
1=x(x²+3y²)=x³+3xy²
兩式相減得2005=3x²y+y³-x³-3xy²=-x³+3x²y-3xy²+y³=-(x-y)³
(x-y)³=-2005
x-y= -³√2005#
I-7.
y=(3x-10)(2x+11)交x軸與y軸於(10/3,0),(-11/2,0),(0,-110)
設此圓與y軸之另一交點為(0,b)
則此圓圓心必在x=[(10/3)+(-11/2)]/2=-13/12與y=[b+(-110)]/2=(b-110)/2上
∴圓心O(-13/12,(b-110)/2)
∴圓半徑r²=[10/3-(-13/12)]²+[0-(b-110)/2]²=[0-(-13/12)]²+[b-((b-110)/2)]²
[10/3-(-13/12)]²+[0-(b-110)/2]²=[0-(-13/12)]²+[b-((b-110)/2)]²
(53/12)²+(b-110)²/4=(13/12)²+(110+b)²/4
(53/12)²-(13/12)²=(b+110)²/4-(b-110)²/4
(53/12+13/12)(53/12-13/12)=2×110×b/4-(-2×110×b/4)=110b
(11/2)(10/3)=110/6=110×(1/6)=110×b
b=1/6
(0,b)=(0,1/6)#
I-8.
證明：若a+b+c+d=k，k為定值，則當a=b=c=d=k/4時a²+b²+c²+d²有min k²/4
設a=k/4+m, b=k/4+n,c=k/4+p,d=k/4+q，而m+n+p+q=0
則a²+b²+c²+d²
=(k/4+m)²+(k/4+n)²+(k/4+p)²+(k/4+q)²
=4×(k/4)²+2(m+n+p+q)(k/4)+m²+n²+p²+q²
=k²/4+(m²+n²+p²+q²)≧k²/4
當m=n=p=q=0時，即a=b=c=d=k²/4時，a²+b²+c²+d²有min k²/4 得證
要求當e在哪些範圍時，就算a²+b²+c²+d²再小也使a²+b²+c²+d²+e²>16
a+b+c+d=8-e，a²+b²+c²+d²之min為(8-e)²/4
a²+b²+c²+d²+e²>(8-e)²/4+e²>16
(8-e)²/4+e²>16
(64-16e+e²)/4+e²>16
(64-16e+e²)+4e²>64
5e²-16e>0
e>16/5或e<0
故當e>16/5或e<0時，就算a²+b²+c²+d²再小也使a²+b²+c²+d²+e²>16
即當e>16/5或e<0時，a²+b²+c²+d²+e²=16中的a,b,c,d無實數解組
∴16/5≧e≧0
e有max 16/5和min 0 兩者之和為16/5#
PK.
其中題目給定AD=8，BC=18
∵∠AEO=∠AFO=90∘，EO=FO=r，AO=AO
∴⊿AEO全等於⊿AFO (RHS) ∴AE=AF
同理且□ABCD為等腰梯形
∴AE=AF=DE=4，BG=BF=CG=9，AB= AF+ BF=13，BM=BG-AE=5
所求圓直徑EG=√[13²-5²]=12#
希望看過我的解法者 都能回應自己的解法 大家一起討論
參考：http://www.99cef.org.tw/trml/2006/2006TRML_Individual.pdf
參考：http://www.99cef.org.tw/trml/2006/2006TRML_PK.pdf
聲明
以上解法是本人的解題方法，如與坊間參考解法有雷同純屬巧合
如果有需要更多詳解可參考
http://www.jianhsin.com.tw/new_book/newbook.php
下一篇：數學96年學測題目參考解法
大大感謝
看到你的解法才恍然大悟~
版主回應
呵呵~那就大家加油。
2008-07-22 16:04:11
大大
妳真強
版主回應
謝謝誇獎，話說怎麼找到這來的阿。
2008-07-22 16:03:13
I-5用tangent會更快