2013-03-28 01:00:00frank
[數學] 別再教孩子「名數 x不名數 =名數」了！
[ Math ] 名數 x 不名數 = 名數
國小時一次數學月考，考了一題像這樣的題目：
果園裡果樹整齊排列，一排種 8 棵果樹，請問 3 排有幾棵果樹？
我就答： 3 x 8 = 24
結果老師給了「半對」，因為答案對了，觀念卻是錯的。老師說我這樣算出來的結果是 24 排，而非 24 棵。我很不服氣，跟老師說，題目都告訴我們「每排 8 棵」，然後問 3 排(有幾棵)，怎麼可能會把算出來的結果當作「排」，而不是有幾棵果樹！？
老師見我如此不受教，便把考卷再改，將「半對」變成「全錯」。然後在考卷上加註密密麻麻的紅字給家長看，因為那時的考卷是要家長簽名的。後來老師花了很多時間講解一個重要的「數學規則」：
名數 x 不名數 = 名數
名數 / 名數 = 不名數
我雖然理解但並不服氣。只因是「數學規則」所以必須遵守。
最近讀了些美國中學生的科學科目的課本，因為美國使用英制，而科學上通用的單位皆為公制，因此一開始便先教授如何做單位換算，從英制換到公制，或反之。
書上教授的方法讓我耳目一新，它教學生在轉換時把所有的單位都帶上，並利用「約分」原則推導到所要的單位。讓我用一個實例來說明。
已知：1 inch = 2.54cm, 1 mile = 1.6km
Question: 5 miles = ? inches
這便讓我想到了「不名數」，試著在網路上尋找「不名數」的科學定義。但是卻發現這個「不名數」十分抽像，根本談不上明確的科學定義*。找到的網頁大都與珠算有關，好像是中國傳統的算數觀念。
老師因為較有學問，懂得「名數 x 不名數 = 名數」的道理，所以認定了
1. 「名數 x 不名數 = 名數」 假設 名數 = X，不名數 = Y
「名數 x 不名數 = 名數」似乎只是一種「位置」的規定。
3. 「名數」、「不名數」的觀念局限於「倍」或「率」的計算。無助於抽像推演。這麼說吧，以我們熟知的牛頓運動第二定律：運動量(P)之變化量與作用的力成正比例(*2)的數學表現形式 F=△P/△t 推導成現在一般人熟知的 F = ma 的過程中，又有多少不同的「名數」與「不名數」呢？而過程中，這些「名數」與「不名數」又轉換過多少次身份？
4. 「名數」、「不名數」的觀念局限於。無助於面對較複雜的問題。
果園裡果樹整齊排列，一排種 8 棵果樹，請問 3 排有幾棵果樹？
8 棵 x 3 (倍) = 24 棵 「名數 x 不名數 = 名數」
8 棵/排 x 3 排 = 24 棵 ..... 我認為較科學的方法
兩者相差不大。
參考一下美國人怎麼利用帶著單位的算式來計算，這是一個理想氣體定律(universal gas law or idea gas law)的說明： (也請想一想如果要套用「名數 x 不名數 = 名數」要怎麼計算和解釋。)
國小時一次數學月考，考了一題像這樣的題目：
果園裡果樹整齊排列，一排種 8 棵果樹，請問 3 排有幾棵果樹？
我就答： 3 x 8 = 24
結果老師給了「半對」，因為答案對了，觀念卻是錯的。老師說我這樣算出來的結果是 24 排，而非 24 棵。我很不服氣，跟老師說，題目都告訴我們「每排 8 棵」，然後問 3 排(有幾棵)，怎麼可能會把算出來的結果當作「排」，而不是有幾棵果樹！？
老師見我如此不受教，便把考卷再改，將「半對」變成「全錯」。然後在考卷上加註密密麻麻的紅字給家長看，因為那時的考卷是要家長簽名的。後來老師花了很多時間講解一個重要的「數學規則」：
名數 x 不名數 = 名數
名數 / 名數 = 不名數
我雖然理解但並不服氣。只因是「數學規則」所以必須遵守。
最近讀了些美國中學生的科學科目的課本，因為美國使用英制，而科學上通用的單位皆為公制，因此一開始便先教授如何做單位換算，從英制換到公制，或反之。
書上教授的方法讓我耳目一新，它教學生在轉換時把所有的單位都帶上，並利用「約分」原則推導到所要的單位。讓我用一個實例來說明。
已知：1 inch = 2.54cm, 1 mile = 1.6km
Question: 5 miles = ? inches
所有的單位除了 in 外都約分約掉了。因為 1 mile = 1.6 km, 所以 1.6km/ 1 mile = 11000m / 1km = 1100cm / 1m = 11 in/ 2.54cm = 1
5 mile x 1 x 1 x 1 x 1 = 5 mile
這便讓我想到了「不名數」，試著在網路上尋找「不名數」的科學定義。但是卻發現這個「不名數」十分抽像，根本談不上明確的科學定義*。找到的網頁大都與珠算有關，好像是中國傳統的算數觀念。
老師因為較有學問，懂得「名數 x 不名數 = 名數」的道理，所以認定了
3 x 8 = 24 是 3 排 x 8 (不名數) = 24 排
所以我是錯的。
為什麼我認為「名數 x 不名數 = 名數」不夠科學呢？可是我的想法卻極為單純：3 x 8 = 24 是3 排 x 每排 8 棵 = 24 棵只是當時的我不懂得「每排 8 棵」的科學表示法是： 8 棵 / 1 排3 排 x ( 8 棵 / 1 排 ) = 24 棵
1. 「名數 x 不名數 = 名數」 假設 名數 = X，不名數 = Y
名數 x 不名數 = XY因為 名數 x 不名數 = 名數 = X所以 XY = X, Y= 1 以數學的眼光來看 「不名數 = 1」
=> 「名數、不名數」並非代數的觀念，比較像「地位」或「資格」。
2. 在各式運用當中「名數 x 不名數 」與「不名數 x 名數」的結果相同，而且一定相同。所以這個規則一點道理都沒有。(因為有沒有使用這個規則都會得到相同的答案)
2. 在各式運用當中「名數 x 不名數 」與「不名數 x 名數」的結果相同，而且一定相同。所以這個規則一點道理都沒有。(因為有沒有使用這個規則都會得到相同的答案)
「名數 x 不名數 = 名數」似乎只是一種「位置」的規定。
3. 「名數」、「不名數」的觀念局限於「倍」或「率」的計算。無助於抽像推演。這麼說吧，以我們熟知的牛頓運動第二定律：運動量(P)之變化量與作用的力成正比例(*2)的數學表現形式 F=△P/△t 推導成現在一般人熟知的 F = ma 的過程中，又有多少不同的「名數」與「不名數」呢？而過程中，這些「名數」與「不名數」又轉換過多少次身份？
4. 「名數」、「不名數」的觀念局限於。無助於面對較複雜的問題。
果園裡果樹整齊排列，一排種 8 棵果樹，請問 3 排有幾棵果樹？
8 棵 x 3 (倍) = 24 棵 「名數 x 不名數 = 名數」
8 棵/排 x 3 排 = 24 棵 ..... 我認為較科學的方法
兩者相差不大。
若改成已知3 排種 24 棵，每採收 28 棵樹需耗時3 小時，工資每小時 300 元，請問採收7 排的果樹的工資是多少？
不需考慮何者為「名數」、何者為「不名數」再複雜的問題用同樣的方法都可以得到正解。過了三十多年，這件往事仍鮮活的存在記憶中。從網路搜尋「不名數」或「無名數」泰半都是關於珠算鑑定考試的網頁，現在大概沒甚麼人關心什麼是「不名數」、什麼是「名數」了吧！就讓這種學問留給專門想研究中國算數的人吧！別拿這些規則再來箝制孩子們的思考與邏輯觀念了。
參考一下美國人怎麼利用帶著單位的算式來計算，這是一個理想氣體定律(universal gas law or idea gas law)的說明： (也請想一想如果要套用「名數 x 不名數 = 名數」要怎麼計算和解釋。)
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笑了.你的老師真的很仁慈阿...
我國小的時候有個很難的題目.全班沒有人答對.就我答對了...
然而我那題也出了這個問題.但不是我不知道這個邏輯問題.而是我懶.沒有一板一眼的作答.覺得3X8跟8X3的答案是相同的...
事實上我是知道邏輯上.3X8跟8X3是完全不同的.就只是懶得一板一眼而已...
老師就是故意糾我這個小辮子.我那張考卷就只有這個算是出了問題.結果全錯.還挨打...
老師是故意打我一頓.要我謹記的...
而且我也知道老師是故意針對的.特別的關注我.連這點小問題都不放過...
其實你要是把單位帶進去.你就知道乘出來是有問題的.
至於你用換算的單位約分的那個題目.那並不純粹是乘法.還有除法在內...
8棵樹X3排=24棵樹.
3排X8棵樹=24???
24排嗎?
其實這種邏輯也算是重要的.比如說.理化題目要你求一個東西的密度.你要怎麼算?
要是忘記了?可以看密度的單位是怎麼樣?
不就是g/cm^3嗎?
越是細節.越能看出觀念的好壞.邏輯觀念越好.程度才會越好.
國小教的那套名數不名數，到國一數學課就被推翻了，老師說：國中没人在管那個。
從此過着幸福快樂的日子，還好國小没被洗腦太深。
另外.你的英里換算英尺.
我是會直接(1.6X1000X100)/2.54.
1.6是1英里=1.6公里.1000是1公里=1000公尺.100是1公尺=100公分.
()裡面的算是就是直接把英里換算成公分的公式
我會直接換算成公分再來除.這是小學低年級的算法.根本不需要帶上那些換算的公式.
會給那些公式.其實也跟建構式數學一樣.是給不夠聰明.看不懂的人去學習的...