在完備的實數系中，循環小數0.999...，也可寫成0.bar{9}、0.dot{9}或 0.(9)，表示一個等於1的實數。也就是說，「0.999...」所表示的數與「1」相同。長期以來，該等式被職業數學家所接受，並在教科書中講授。目前這個等式已經有各種各樣的證明，它們各有不同的嚴密性、背景假設都蘊含實數的阿基米德性（En:Archimedean field）、歷史文脈、以及目標受眾。

這類展開式的非唯一性不僅限於十進位系統。相同的現象也出現在其它的整數進位制中，數學家們也列舉出了一些1在非整數進位制中的寫法。這種現象也不是僅僅限於1的：對於每一個非零的有限小數，都存在另一種含有無窮多個9的寫法。由於簡便的原因，我們幾乎肯定使用有限小數的寫法，這樣就更加使人們誤以為沒有其它寫法了。實際上，一旦我們允許使用無限小數，那麼在所有的進位制中都有無窮多種替代的寫法。例如，18.3287與18.3286999...、18.3287000...，以及許多其它的寫法，都表示相同的數。這些各種各樣的等式被用來更好地理解分數的小數展開式的規律，以及一個簡單分形圖形──康托爾集合的結構。它們也出現在一個對整個實數的無窮集合的經典研究之中。

在過去數十年裡，數學教育的研究人員研究了學生們對該等式的接受程度。許多學生至少在一開始對該等式表示懷疑或無法接受。閱讀了教科書和以下的推理，並經過了教師教導後，大部分學生便被迫承認兩者是相等的。不過，他們往往仍然感到十分彆扭，而提供進一步的理由。學生們否定或肯定該等式的原因，通常是基於一些對實數的常見誤解；例如，每一個實數都有一個唯一的小數展開式，例如非零的無窮小應該存在，或者0.999...的展開式最終要停止。我們也可以構造出使該等式不成立的記數系統，但只能在初等數學中的標準實數系統之外進行。確實是這樣，有些記數系統含有「剛剛小於1」的數；這些數一般與0.999...無關（因為與之相關的在理論上和實踐上都沒有什麼用途），但在數學分析中引起了相當大的興趣。






簡介

0.999...是一個小數系統中的數，一些最簡單的0.999... = 1的證明都依賴於這個系統方便的算術性質。大部分的小數算術──加法、減法、乘法、除法，以及大小的比較，操作方法都與整數差不多。與整數一樣，任何兩個有限小數隻要數字不同，那麼數值也一定不同。特別地，任何一個形為0.99...9的數，其中只有有限個9，都是嚴格小於1的。

誤解0.999...中的「...」（省略號）的意義，是對0.999... = 1的誤解的其中一個原因。這裡省略號的用法與日常語言和0.99...9中的用法是不同的，0.99...9中的省略號意味著有限的部分被省略掉了。但是，當用來表示一個循環小數的時候，「...」則意味著無限的部分被省略掉了，這隻能用極限的數學概念來闡釋。這樣，「0.999...」所表示的實數，是收斂數列（0.9，0.99，0.999，0.9999，...）的極限。「0.999...」是一個數列的極限，從這方面講，對於0.999...=1這個等式就很直觀了。

與整數和有限小數的情況不一樣，一個數也可以用許多種其它的方法來表示。例如，如果使用分數，1⁄3 = 2⁄6。但是，一個數最多隻能用兩種無限小數的方法來表示。如果有兩種方法，那麼一種一定含有無窮多個9，而另外一種則一定從某一位開始就全是零。

0.999... = 1有許多證明，它們各有不同的嚴密性。一個嚴密的證明可以簡單地說明如下。考慮到兩個實數是相等的，若且唯若它們的差等於零。大部分人都同意，0.999...與1的差，就算存在也是非常的小（趨近零）。考慮到以上的收斂數列，我們可以證明這個差一定是小於任何一個正數的，也可以證明（詳細內容參見阿基米德原理），唯一具有這個性質的實數是零。由於差是零，可知1和0.999...是相等的。用相同的理由，也可以解釋為什麼0.333... = 1⁄3，0.111... = 1⁄9，等等。

證明

推想

0.999...是否為1？若使用減法直式計算（小數點後只列出五位，五位後省略）：
　　1.00000
─　0.99999
──────
　　0.00000

結果為0.000...，也就是0.0無限循環。因為小數點後五位之後還會一直填上0，始終無法找到最後一位來填上1。 1.(0) - 0.(9) = 0.(0)，故1 = 0.(9)。







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我覺得這個條目還滿有趣的ＸＤ
雖然後面的一些講解還滿難的看不懂＝　＝