《咖啡屋內的凝思－－想到哪就寫到那的物理日記》之一，起自 2007-07-21

（一） 咖啡屋

今天又在那個常去的咖啡館裏泡了一天，一人獨占靠馬路側的落地大窗邊的一張桌子，因為那裏光線好，離音嚮又遠。這桌子上攤滿了我的紙夾與算稿，還有一杯冰咖啡，以及一個放糕點的小碟。那裏的客人不多，就是有也都是選坐在那些高腳的桌椅上。通常那裏有三位服務生，她們都是打工的大學生，當我沉思的目光偶然地與她們的目光接觸時，她們會友好地報以一笑。有時我的目光會轉向窗外，穿越馬路，直到遠處的一片樹林。凝視一忽，然後又拿起筆，在紙上飛速地寫下剛才突然冒出的思考。
　　　　
☆　靠馬路側的落地大窗邊的一張桌子　☆

　　　　
（二）都與擾率張量有關

最近一兩年我有點明白了，電磁場、引力場、以及量子場，都是與擾率張量有關系，都是一種「有擾空間」。為了這點點思想的萌芽，我在峽谷中轉來轉去白轉了數年時間。我認為愛因斯坦的英明之處，就是他首先想出了將時空幾何化。但他走得還不夠遠，他的廣義相對論認為時空是彎曲的，但又認為時空是無擾的。因而愛因斯坦只用上了曲率張量，而實際未用上擾率張量。據說他也嘗試過在有擾的條件下改進廣義相對論，只是沒有成功而已。也據說後來還有很多其他人也在嘗試向「有擾」方向突破，但是我實在不是很清楚最近幾年有沒有人成功了。

（三）我也想做一次費爾馬

我覺得那位費爾馬（注１）真是位趣人，他在一本書上用小字草草地寫下幾句話，說他找到了證明這個問題的美妙的方法，可惜書頁上空白的地方太小因而寫不下來。我們不知道他是在吹牛還是故意要開玩笑。後來紐約的地鐵裏都有人用費爾馬的口氣來塗鴉，說他也找到了證明這個問題的美妙的方法，可惜列車已經在開過來了。現在連我也想要在這裏做一次費爾馬了，不過這網頁卻不像費爾馬的那本書，這裏有足夠的空白讓我可寫，真正的問題是我寫得很僈，因此很有可能有一天我不再寫下去了（譬如哪天我突然死了）。假如那樣，那麼這些問題的答案，恐怕也像費爾馬定理一樣要讓後世的人去猜想了。

像費爾馬一樣，我可也是個業餘的研究者，所以別指望我什麼，我只是為了在這個領域裏好好玩玩。對物理學，我既無義務也無責任，而且我又生性悠遊懶散，我只有在興趣上來時才會去做研究。所以我將它稱之為《想到哪裏就記到那裏的日記》，至於那些導出結論的計算過程，當然我沒有辦法在這裏將它們寫出。
　
☆　那裏的客人不多，就是有也都選坐在那些高腳的桌椅上　☆　　　

　　　　
（四）可能的，和不可能的

我生到這個世界所選擇的時間太不是時候了，要是早一點，早廿年，我可能會在不到十八歲前就被祖父送去美國唸書，那樣我可能會遇上愛因斯坦。要是再晚一點，晚廿年，我可能會進入北大物理系，那樣我來美國後可能會遇上費因曼。但是我不早不晚地生在我那個年代，那年代外部的世界對我們是封閉的，所以不可能遇見愛因斯坦，或者遇見費因曼，我只是遇上了「文革」風雲，所以就我最最喜愛的物理學而言，那些原本有可能的事，也都成了不再可能。
　　　　
☆　有時我的目光會轉向窗外，穿越馬路，直到遠處的樹林　☆　

　　　　　　
（五）廿七年前的一個發現：洛倫玆變換與一組曲面幾何方程等價

要是我能遇得上愛因斯坦，我就會讓他看我的一份算稿，在這份算稿裏，他的狹義相對論得以立論的基本方程洛倫玆變換（Lorentz transformations）變成了一組雙曲面上的曲面幾何方程。這表明作為狹義相對論的兩大哲學基礎之一的「光速不變原理」完全是多餘的，我們僅需要「相對性原理」以及假設慣性空間的時空是彎曲的，便可以直接借助於曲面的幾何學方程，而從「數學上」來推導出洛倫玆變換。

這部份算稿寫於1980~1982，它的紙頁已經發黃，那時愛因斯坦早已去世廿五年，而距現今也已廿七年。如果它能讓愛因斯坦讀到，我相信他會感到驚訝，因為他在世時雖然已經知道慣性空間速度的相加性不遵從歐幾里德幾何，但是他未能想到這原來是一組簡單得不能再簡單的曲面幾何方程。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（六）但它與慣性空間是平直空間的舊觀念有沖突

我不清楚在愛因斯坦的內心，他是否真以為「慣性空間是一種平直的空間」。也許愛因斯坦持有一定的保留。但事實是，到目前為止的關於狹義相對論的所有權威書籍或文章，都是將慣性空間詮釋成是一種「平直」（而不是彎曲）的時空空間，用數學的語言來表達就是：它是一種高斯曲率為零的四維時空。

狹義相對論認為慣性空間高斯曲率為零（注２）當然有其道理，關於這點我在後面馬上會談到。但是我必需指出的是：如果慣性時空是無曲率的，那麼就會與我以上發現的「洛倫玆變換無非就是一組曲面幾何方程」的時空性質有沖突。一個平直的無曲率的四維空間怎可能允許曲面幾何的方程存在。慣性空間究是平直還是彎曲，這兩者只可能有一種是對的，哪麼究是愛因斯坦還是我？
　　　　　　　　
☆　它裝潢華美，顧客不多，遠離塵囂　☆　

　　　　
（七）狹義相對論給出的慣性空間的度規

要驗證這一點看似非常容易，因為四維時空的高斯曲率計算起來並不難，關鍵在於先要有一個四維空間的「度規」。度規若有了，計算高斯曲率就變成了一道普通的習題，任何學過黎曼幾何的物理系學生都能輕而易舉地把它算出來。若算出高斯曲率是零，那當然就是「平直」的時空。反之，若算出來高斯曲率不為零，那就是「彎曲」的時空了。

這種度規早就存在了，愛因斯坦在他的狹義相對論中，依據慣性參考系之間的洛倫玆不變性，直接得出了慣性空間的度規。從矩陣的角度，它是一個四維的對角型矩陣；從張量的角度，它是一個兩階張量。我們用ｇ來代表這個度規，並寫出它在直角座標制之下的矩陣形式：

　　　　｜ｇ(11)　0　　　0　　0　｜ 　　　｜1　0　0　　0　｜
ｇ　＝　｜0　　ｇ(22)　　0　　0　｜ 　＝　｜0　1　0　　0　｜
　　　　｜0　　　0　　ｇ(33)　0　｜ 　　　｜0　0　1　　0　｜
　　　　｜0　　　0　　　0　ｇ(44)｜ 　　　｜0　0　0　– c²　｜　　(7.1)


矩陣ｇ的第四維（時間維）對角分量ｇ(44)是個常量，它是光速平方的負值。如果不用直角座標而用球面座標（或柱面座標），那麼改變的只是ｇ矩陣的前三個對角分量，但第四個分量ｇ(44)永遠是光速的平方（c²）。
　　　　
☆　向那蒼涼無人，冰冷荒漠的山峰走去　☆　

　　　　
（八）如何利用度規來求得空間的曲率張量

在黎曼幾何中，前述「度規張量」是最初的起點，它是一個兩階的張量。當它取最簡單的對角型矩陣時，它只有四個非零分量。然後，這四個分量都可以對四維座標取偏微分，偏微分只需一階與二階，三階以上的偏微分暫時用不到。

求得了度規的偏微分後，就可用它來組成「仿射聯絡」(affine connection)。仿射聯絡也可以對四維座標取偏微分。有了這些偏微分後，就可以組成我們所要的「曲率張量」。其實曲率張量只是以上度規、度規的偏微分、仿射聯絡、仿射聯絡的偏微分這四種東西的簡單的加減乘除。如果有足夠的經驗，連求仿射聯絡這一步都可免去，直接用度規與度規的偏微分這兩種東西作加減乘除，就可以得到曲率張量了。通常用Ｒ(mijk)來表示曲率張量，它是一個四階的張量，mijk 是它的四個張量指標，字母Ｒ是用以記念偉大的數學家黎曼（注５）。

（九）利用曲率張量來求得時空的高斯曲率

曲率張量是四階的張量，它有２５６個分量，但由於ｍｉｊｋ四個指標的反對稱性，在２５６個分量中真正獨立的分量只有１８個。求得了曲率張量，我們就可以用它來求出標量曲率，其方法是用度規張量來對曲率張量進行縮并。所謂的高斯曲率就是一種標量性質的曲率。當度規是對角型時，我們可以寫出高斯曲率的表達式如下：

Ｋ　＝　g{11}*g{22}*R(1212) + g{22}*g{33}*R(2323) + g{33}*g{11}*R(3131)
　　　　g{11}*g{44}*R(1414) + g{22}*g{44}*R(2424) + g{33}*g{44}*R(3434)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(9.1)
這裏g{11}、g{22}、g{33}、g{44}是度規的逆變張量的四個對角分量，而式中Ｒ(1212)等，則是曲率張量Ｒ(mijk)的六種分量。Ｋ為高斯曲率，它是標量曲率Ｒ的二份之一，且符號與標量曲率相反。

以上七、八、九簡要的說明了黎曼幾何中求時空曲率的方法。如果最後求得的高斯曲率Ｋ是零，那就是一種平直的時空，否則就是彎曲的時空。例如對於一個半徑為ａ的兩維球面，我們可以用上述步驟求得它的高斯曲率Ｋ為１／ａ²，而標量曲率Ｒ則為－2／ａ²，兩維球面高斯曲率是個正值，所以兩維球面是一種具有正曲率的彎曲空間。
　　　　
☆　也許會缺水斷糧，而倒斃在半路上　☆　

　　　　　　　　
（十）狹義相對論給出的度規只能引伸出「慣性空間是零曲率的」結果

我們跳脫任何思辯或物理模型，純從數學的角度去處理。從數學上看，本文第七段所舉之狹義相對論的慣性空間度規，它的四項非零對角分量均為常量。從數學上講，常量的偏微分只能是零值。因此該度規按上述黎曼幾何的方法計算得到的曲率張量Ｒ(mijk)的全部分量當然只能為零，而高斯曲率就亦為零值。

退一步說，如果不用直角座標制，而採用諸如球面或柱面之類的座標。在此種情況下，ｇ矩陣的前三個對角分量，自然會含有座標變量，例如對球座標制，ｇ(22)=x1²，ｇ(33)=x1²*sin²(x2)。因而度規ｇ的空間三維分量的偏微分不再是零。但即使如此，亦不難證明曲率張量Ｒ(mijk)的各項分量仍然全部為零。分析與計算表明，關鍵在於度規ｇ的第四維分量 ｇ(44)，只要它是常數值，那麼此四維空間的曲率張量與高斯曲率，就只能得到零值。

因此似乎只能得到這樣的結論：愛因斯坦的狹義相對論所給出的那種慣性空間度規，只能引伸出「慣性空間是零曲率的」結果。所以我在前面已提到：狹義相對論認為慣性空間高斯曲率為零當然有它的道理。

☆　工餘之後就去那個藏書甚豐的紐約市立圖書館找書閱讀　☆　　

　　　　　　　　
（十一）郣論

問題已進一步深入，這裏面幾乎已形成了一種郣論，如果我前述發現是正確的話。我將此種郣論敘述歸納如下：

1）狹義相對論對慣性空間給出過一種度規，這種度規的第四維分量是常量（光速的平方）；2）此種ｇ(44)=－c²的慣性空間度規能很完美地滿足狹義相對論的洛倫玆變換，所以可以認為它已被眾多的實驗事實所肯定；3）在黎曼幾何之下，度規ｇ(44)=－c²的常量性質，將會導至此種慣性空間的高斯曲率為零值；4）高斯曲率為零值，即表明了（理想的）慣性空間是一種平直的空間；5）但慣性空間如果是平直空間，就會與我在本文第五段中所述的那個發現，即「洛倫玆變換無非就是一組曲面幾何方程」的時空性質有根本的沖突。

因此，只要我的前述發現是對的，那麼就產生了一個郣論。通常存在某種郣論就表明了可能另外存在著某種尚未被揭示的科學定則，這種定則將會讓原本郣論的沖突雙方變得可以相容。但是當我在上世紀八十年代末來到美國時，愛因斯坦早已不在人世，所以我無法面見或寫信去向他請教（注３注４）。1986 年底，我來到美國，最初的數年與家人一起住在紐約市皇后區的一個叫森林小丘的地方。我仍然是位業餘的物理研究者，工餘之後就去那個藏書甚豐的紐約市立圖書館找書閱讀，那種生活可沒有想像的那般浪曼，那是一種異常艱難的生活。但就在那段時間，我猜想我可能找到了解決這一郣論的方法與結果。

☆　曲率張量寫成Ｒ(mijk)是用以記念偉大的數學家 Riemann（黎曼）　☆　　

　　　
（十二）微分幾何

紐約市立圖書館位於繁華的曼哈坦五大道靠四十二街處，藏書眾多，比它大的可能只有首府華盛頓的國會圖書館了。但紐約市立圖書館內的物理學類藏書卻不放在五大道四十二街的主館內，而是放在位於皇后區牙買加大道的副館，那是一個有色人種居住的小區。副館的附近有個商場，當年一位好友的來美陪讀的妻子，就在那商場裏擺個小攤位賣Ｔ恤，有時我口渴會去她那裏喝杯水。

在牙買加大道副館內主要是補習微分幾何方面的知識，專找這方面書讀，還記得讀過的那些著者有：Manfredo P. do Carmo； David Lovelock； Hanno Rund； Luther P. Eisenhart； Detlef Laugwitz,；Venzo de Sabbata等人在微分幾何上的著作。

這些關於微分幾何的著作並非是純數學的，嚴格地說它們只是專為物理學而寫的，而且幾乎都是為了配合愛因斯坦的廣義相對論。這裏面雖然也有像 Venzo de Sabbata 這樣的著者，在他的著作中已將擾率引入到引力理論中來（Introdution to Gravitation, by V. de Sabbata & M. Gasperini），但他還是脫不了愛因斯坦的基本框架。

微分幾何是一種數學，理論物理就是用數學來進行推理。但數學是死的，它只是推理的工具。如果前端本身就有缺陷，那就不可能推出正確的後端。

從微分幾何的角度考慮，如果（理想的）慣性空間具有非零的曲率，那麼第四維上的度規ｇ(44) 就不應該再是個常量，它必須是一種座標變量的函數。這樣的函數未必不能滿足洛倫玆變換所要求的ｇ(44)=－c²的性質，比如說，如果在某種邊界條件之下，令這個函數給出一個特定的數值（光速平方的負值），那麼這個郣論就能完全解開：它既可得出非零的曲率，又可同時保持慣性空間的洛倫玆變換。

在 1990 年左右，我似乎求得了能滿足上述條件的慣性空間的ｇ(44) ，這是一種很奇特的函數，我將在後面再談到它。

　　　　
　　　☆☆☆☆　☆☆☆☆　　注釋　　☆☆☆☆　☆☆☆☆

注１：法國人費爾馬（Pierre de Fermat, 1601~1666）出世得比牛頓、歐拉、高斯還要早，費爾馬在那本名為《算術》的書上用小字寫下了幾句話：不可能將一個立方數寫成兩個立方數之和，或者將一個四次冪寫成兩個四次冪之和，或者，一般地說，不可能將一個高於兩次的冪寫成為兩個同次冪的數的和。然而費爾馬又在該段的後面寫了另一段附注，說他有一個美妙的證明方法，可惜在這裏空白的地方太小，因而寫不下來。有關費爾馬的更多的內容請閱讀本台的另一篇文章（網聊自然哲學－關於費爾馬最後定理）。

注２：關於「目前公認的觀念認為慣性空間是平直的時空」這點，甚至可以從《維基百科》的相對論條目中得到佐證，那上面是這樣寫的：「狹義與廣義相對論的區別在於所討論的問題是否涉及引力（彎曲時空），即狹義相對論只涉及那些沒有引力作用或者引力作用可以忽略的問題，而廣義相對論則是討論有引力作用時的物理學的。用相對論的語言來說，就是狹義相對論的背景時空是平直的，即四維平凡流型配以閔氏度規，其曲率張量為零，又稱閔氏時空；而廣義相對論的背景時空則是彎曲的，其曲率張量不為零。」

注３：愛因斯坦是一位很難得的對無名小輩非常謙遜，又能給以熱情贊助的大牌科學家。當年印度的玻色只是位無名的教師。玻色找到了一種量子統計方法，但他的論文在投稿於英國的哲學雜誌時遭受拒絕，最後他把論文寄給了愛因斯坦，愛因斯坦一看就明白了玻色作出了什麼成積，愛因斯坦親自把玻色的論文譯成德文並以玻色的名義發表於德國的《物理學刊》。

注４：還有一件讓我印像深刻的事來自一位華人的口述。上海交大老校長周志宏的兒子，中美建交後他從美國來上海作交流，他向我們談起他在廿多年前與愛因斯坦通信的故事。他早年去美國開始學的是數學，後來再專研治金。他有一篇關於治金學的論文引入了狹義相對論的一些內容，他將論文的一個副本送交給愛因斯坦，沒多久愛因斯坦就來了回信。信中說：我用相對論研究的是微觀的原子，而你將它用於宏觀的治金，雖然研究的對像是如此的不同，但我們得到的結論卻是相同的。我相信周老師的那篇引入相對論的治金學論文一定比我這裏還要更天方夜譚，但偉人愛因斯坦卻看得那麼地認真。

注５：黎曼（B. Riemann, 1826~1866）是位不幸的天才，他與高斯、歐拉被公認為是十九世紀最偉大的三位數學家。黎曼廿八歲那年（1854年）被德國格廷根大學任命為編外教師（沒有正式工資的講師）。這位編外教師發表了題為《論幾何學基礎的假設》的就職演說，這篇演說論文通常被認為是黎曼幾何學的起源。黎曼長期的貧苦生活影嚮了他的健康，四十歲那年就因病逝世。黎曼死後，另一些數學家如克里斯托費爾（E.B. Christoffel）、李普希茨（R.O.S. Lipschitz）等繼續黎曼的工作，協變微分的慨念由此產生，里奇（G. Ricci-Curbastro）更在此基礎上發展出了張量分析的方法，成為現今理論物理學所必不可少的黎曼幾何學。