從整數加法談起
寬廣媽咪著
加法是什麼？你的孩子懂加法嗎？
如果給孩子一個題目：『你有5顆糖果，媽媽再給你8顆糖果，那你共有幾顆糖果？』
孩子如何用自己的方法解決這個問題？或者你是直接敎孩子怎麼解題？
你是哪種媽媽？
若是後者，妳怎麼敎？妳懂加法嗎？妳的介入會帶來學習的後遺症嗎？
若是前者，妳看得懂孩子的解法代表怎樣的意義嗎？你可以如何幫助孩子了解成人的數學觀點？
Q：孩子要能自己解決這個問題，必須具備哪些基本的能力？
A: 『做數』和『點數』活動，是解決整數加法問題的預備活動。
孩子要能自己解決上述問題，必須在看見『5顆糖果』和『8顆糖果』後，能
-
拿出五個花片（或其他替代物，當然糖果也可以）和八個花片或劃出五個圈圈和八個圈圈，這個動作叫做『做數』。
2. 接下來孩子要能點數這『五個花片』和『八個花片』的總數量，
在孩子點數的過程，因為『數概念發展』的層次不同，就會利用不同的『點
數策略』。
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數概念品質
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運思發展層次
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點數策略（計算策略）
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對應年齡
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數的前置概念
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序列性合成運思
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一個數詞對應一個花片唱數，從『一』
唱數到最後一個花片，看唱數到最後，是
哪一個數詞，就是其總數量。
上述的例子：由『一』開始唱數，
『一、二、三、四………、十三』最後的
數詞是十三，孩子就會說十三個。
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幼兒階段
（註一）
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數的起始概念
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序列性合成運思
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能把13個『一』當成是一個『新單位』。
(註一)
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學齡前
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內嵌數概念
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累進性合成運思
（數線概念）
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把8當成一個單位，由8開始一個一個
往上數:8、9 、10 、11 、12、 13。
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一年級下學期
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巢狀數概念
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部分－整體運思
（早期）
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十進位觀念：（一單位概念）
從『五個花片』拿出兩個花片和
『八個花片』湊成10個花片
『五個花片』被拿走兩個花片，剩下3個
花片＝＞10＋3＝13
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三年級下學
期
約五年級
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測量運思
（後期）
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多單位概念：把10＋3看成：一個『十』
加上三個『一』。
25＋15看成二個『十』、五個『一』
加上一個『十』、五個『一』
總共是三個『十』、十個「一」
十個「一」等於一個『十』，
全部是四個『十』，總數40。
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註一：幼兒在日常生活中，會自己玩『一對一的對應遊戲』，這些自發的活動是『數
的起始概念』的先備經驗。
廣廣小時候玩的一對一對應遊戲
註二：在『數的前置概念』階段還只是會唱數，從一數到最後一個數詞，然後以
相對應的最後一個數詞當作是總量數。
孩子還小的時候，例如兩歲多時，常發現孩子在數5個物件時，雖然他會一
一唱數：一、二、三、四、五。但還是會說共3個，這是因為孩子還沒有集
合的概念，不能將5當成五個『一』的集合，於是家長會示範及告訴孩子：
唱數到最後一個數詞就是總數量。
雖然孩子會模仿，但還是沒有數的集合概念，只有到『數的起始概念』的階
段，孩子才有辦法將5當成五個『一』的集合。
3. 加法算式的引進 ：
孩子上了小學後，開始正式學習數學。其中的學習目標之ㄧ，是能將文字情境
表徵（代表）為數學語言，算式就是一種約定成俗大家都能溝通的數學語言。
數學語言對孩子來說是抽象的符號，孩子要能學會這些抽象符號，列算式以數
學語言和別人溝通，讓別人了解他的解題想法，而孩子要能列算式的先備經驗
為：
◎ 理解數字符號和數概念的關係 ：
誤以為會「唱數」及「認數字的符號」就等於有數的概念，
這是一般父母很容易有的錯誤觀念, 數的概念,不像一般大人想的那麼簡單,
什麼是數呢?
成人必須知道數的概念是什麼,
才能清楚利用怎樣的手段,協助孩子建立數概念.。
「認數字的符號」是幼兒數學習的最後步驟，不宜過早灌輸。
根據皮亞傑的理論,
數同時含有「層級」及「序列」兩個特徵.
層級是數本身就存在的內在邏輯,
而序列是文化發展的共通概念.
就層級來說,
2這個數還包括了1,
3這個數還包括了2及1.
4這個數還包括了3,2,1.
.....
如果幼兒沒有數的層級觀念,
妳請他拿3個糖果時, 他會唱數到3,然後拿第三顆糖果.
而不懂得拿足3顆糖果.
最初始的數概念,
是利用「標準數詞序列」將一個數詞(一,二,三..)對應一個物件的「數數活動」開始的.
所以孩子必須要先具備一對一的對應能力.才能正確計數
這個階段的數,對孩子來說只是一堆「一」合起來的總量,
例如,5就是5個「一」合起來的集聚單位. （發展階段請參考第一頁的表格）
慢慢地,等孩子具備有層級概念時,
他才會漸漸發展出「新集聚單位」的觀念,
5可以是「三」這個集聚單位,往上數兩個「一」的新集聚單位.
也可以是「四」這個集聚單位,往上數一個「一」的新集聚單位
這個階段的數,是屬於「內嵌數概念」又比「最初始的數概念」更高一級.
數字符號只是物件總量的文字表徵，
符號的認識,要等到孩子有了初始的數概念後引入才有意義.
孩子的一對一對應關係穩固了, 才能利用唱數的策略計數，
為了能和他人溝通,才需要學數的符號.
這時孩子懂得數到一個物件,用符號「1」代表.
數到兩個物件,用符號「2」代表.
數到三個物件,用符號「3」代表.....以此類推......
更成熟後,還要能反過來,看見數字「3」就拿出3個物件來（做數）。
◎計算方法紀錄的命名：
以 『你有5顆糖果，媽媽再給你3顆糖果，那你共有幾顆糖果？』為例，孩
子做數拿出五個花片和三個花片，然後點數算出合起來共有幾個。
孩子可以發明怎樣的符號，表達這個計算過程，不妨留個機會讓孩子試試看。
孩子若先數五個花片，然後再數三個花片，那麼孩子可能這樣紀錄：
5 3= 8 或其他自己想到的符號紀錄。
孩子若先數3個花片，再數5個花片，那麼孩子可能這樣紀錄：
3 5= 8 或其他自己想到的符號紀錄 。
但這樣的記錄方式，是孩子個別獨特的紀錄方法，其他人是看不懂的，讓孩子
知道大家約定成俗的加法記號是『＋』。
然後告訴孩子，成人習慣把先算的數字寫在前面，後算的數字寫在後面。
合起來是多少，用等號『＝』表示，總合寫在等號後面。
若先數五個花片，然後再數三個花片，那麼就要記錄成：5＋3＝8
若先數3個花片，再數5個花片，那麼就要記錄成：3＋5＝8。
（先點算的數量放在被加數的位置，後點算的數量放在加數的位置。）
●加法的進位與教具操作
隨著孩子十以內加法經驗的累積，孩子開始會遇見進位的加法問題，然而
孩子是如何解決需要進位的加法問題呢？相同地，孩子的數概念發展層次會
影響計算策略的選擇。
以38＋23＝? 為例
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運思層次
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計算策略
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行為描述
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累進性合成運思’
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又『一』累進計算策略
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以『38』為起點連續進行23次『又一』
的點數
－＞38、39、40、41、42、43、……61
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累進性合成運思’
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又『十』累進計算策略
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-
以『38』為起點連續進行兩次『又十』
的點數
-
再連續進行3次『又一』的點數
－＞38、48、58、59、60、61
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部分－整體運思
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分解再結合策略
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38看成『30』和『8』
23看成『20』和『3』
－＞先算20和30是50
再算8和3是11
再將50和11合併得到答案61
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多單位計算策略
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38看成3個『十』和8個『一』
23看成2個『十』和3個『一』
3個『十』和2個『十』共5個『十』
8個『一』和3個『一』共11個『一』
11個『一』是1個『十』1個『一』
5個『十』、1個『十』和1個『一』
共是6個『十』和1個『一』為61。
轉換成直式（配合定位板） 
十位 個位
3 8
＋ 2 3
1 1
5
6 1
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在累進性合成運思進入整體部份運思間可以讓孩子大量玩數的合成與分解
的遊戲或多個一數的活動協助孩子進入下一層次的運思
◎數的合成與分解：撲克牌的撿紅點，是最常見的活動。這時，好玩的新數學、
親子數學這類的書籍，就可以派上用場。柯德數學班就有許多活動是練習數
的合成與分解， 這個課程的特色，是利用教具佈題。讓孩子提升運思層次。
例如：
有一個活動是利用六形六色積木，組合某個圖形，可以用六色、四色或三色
許多不同的組合方法。從各自不同的組合邏輯中，孩子組合兩個紅色積木形
成一個黃色積木，兩個綠色積木組合成一個藍色積木，……漸漸地形成『集
合』與『部分與整體』的觀念。
◎多個一數：當孩子遇見大數量的物件需要點數時，就得利用快速的策略，增
加點數的速度。最常見的是：兩個一數及五個一數。這些都不是自然的方法
，需要大人的教導。
另外，也需要讓孩子學會十個一數、百個一數、千個一數這些都是為十進位
的位值教學作準備，而台幣的紙鈔、硬幣或百格板都是很好輔助工具。
◎教具操作是萬靈丹嗎？
依照孩子的認知發展順序，2歲~7歲是屬於『前運思期』無法進行抽象思考，需要藉助教具或實物操作，建立數學概念。
例如：由計數實物，形成數的概念。
低年級時還屬於『具體運思期』，已經能根據具體經驗思維以解決問題。
加法學習這個階段可以把教具當輔助工具，但是有需要時才用，不是一定得用，
而且是要讓孩子自己挑選他習慣的實物工具使用。
而有些認知發展比較快速的孩子，已經可以用『圖像』代替『實物』，當作自己的解題工具了。
甚至可以利用自己熟悉的數學概念或語言，當作解題的工具。
例如：你問低年級的孩子『有20顆糖果，每5個裝成一盒，可以裝成幾盒？』
有些熟悉加法的孩子，就會把加法當成解決除法問題的工具。
發現5連加4次後，剛好分完，所以是4盒。
熟悉減法的孩子就會這樣想：
20－5＝15
15－5＝10…….連減4次，剛好分完，所以可以分成4盒。
熟悉乘法的孩子就會這樣想：
5的1倍是5、2倍是10、3倍是15、4倍是20剛好分完，故可以分4盒。
但是把教具操作神話的老師，可能就會要求孩子用教具操作算出答案。
可是就算老師拿出小方塊和盒子來讓孩子操作，孩子還是得用加法、減法或乘法的概念來解決這個問題，小方塊和盒子只能幫助孩子暸解題目，不是他們解決問題的工具。
從乘法的學習開始，教具已經不是協助學習的萬靈丹了。要引進乘法算式的概念, 得從加法開始。
2+2+2+2+2
要有2連加5次的觀念,才有辦法帶進2×5
這時老師擺了5堆花片,每堆有2個,有什麼意義?
孩子如果沒透過連加的手段,是無法認知乘法觀念的。
數學發展是不斷進化的過程，新架構成立了，慢慢地就可以丟掉舊架構了。
一層一層慢慢蛻變，這才是數學教學的原則。
廣廣數學發展日記分享
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數石頭 (3 歲)
下午寬廣家到公園打棒球,
哥哥和爸爸打棒球,
廣廣在一旁撿石頭.
我就趁機帶廣廣數他撿的石頭,
我說你有幾塊石頭啊?
他只會數到三,
所以媽媽帶他數到四,
媽媽說:
你看,一塊.兩塊.三塊.四塊.
然後問他,總共幾塊石頭啊?
廣廣終於會依據最後的數目回答四塊,
以前他都是不管數多少,都說是二.
後來媽媽就要求廣廣給媽媽幾顆石頭,
媽媽說:給我兩個石頭好嗎?
廣廣就拿給媽媽兩個.
媽媽接著說:給我三個好嗎?
廣廣就真的給媽媽三個.
媽媽差點就高興地跳起來,
因為前幾天,媽媽和廣廣玩這個遊戲時,
他還一付二愣子的樣子,
不知道要給媽媽多少糖果.
接下來,
媽媽就說:給我最大的石頭好嗎?
廣廣真的拿對了最大的那塊石頭耶.
然後媽媽說:
給我最小的石頭好嗎?
廣廣又拿對了最小的石頭耶.
媽媽終於放心,廣廣了解最大最小的觀念哩.
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數的序列概念 (3 歲 1 個月)
寬廣爸平時看我對廣廣的提問方式,
也看出了門道.
過年時,廣廣老是吵著吃糖果,
爸爸簡直是溺愛他,隨他拿,隨他吃,
然後問廣廣說:
你吃了幾個糖果?
廣已經會回答說2個,
後來廣廣又拿了一個,
寬廣爸又問他:你現在在吃第幾個?
他回說:第三個!
嗚嗚!又要痛哭流涕了,
終於有點概念囉,
還好不是笨蛋哩!
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2+1 (3 歲 2 個月)
剛剛廣廣拿著大科學來告訴我,
媽咪,妳看,西瓜.
我則趁機問他,
我們家每人一粒西瓜,需要幾粒西瓜呢?
他邊指西瓜邊說,
這個給我,這個給哥哥,這個給妳(忘了爸爸).
我接著問,
幾粒呢?
他指著左邊那一頁說:
這裡一個,
指著右邊那一頁說:
這裏兩個.
我則說:那總共是幾個呢?
他說:嗯,很多,然後就跑掉了 .
我試過,他會一個一個數,
但是在他的心智中,還是只有2個的量概念,
他自己數數的方法,竟然是用他已有的觀念去區分(1和2).
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廣廣數量發展紀錄
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(3 歲 3 個月)
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廣廣確定有清楚的1和2個的數量觀念,
每次遇見3個需要數數時,
他都是先說:
這裡兩個,這裡一個,
我得提醒他說,那總共是幾個?
他才會從一數到三!
今天他拿了本數數的書看,
我則趁機陪他一頁一頁,數數每頁上東西的數量,
翻到10輛汽車時,
他先一個一個數,到第8輛汽車時,突然停下來,
然後手指著第五輛汽車說:
這是五,
第六輛汽車說:這是六,
把我嚇一跳!
他到底是憑著記憶,還是快速地從頭再找到第五輛汽車呢?
值得再觀察觀察!
另外我發現:
廣廣數數時,會把同一類的東西一起數,
數完後,再數其他單樣的物品.
而他在玩積木時.也會按規律排列,
例如:他先排2行的藍色小方塊,再排2行的的紅色小方塊,
然後以此類推,
這也算是序列的前置行為!
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(3 歲 8 個月)
最近廣廣喜歡我唸英文讀本給他聽.
其中一本,每頁都會有一些昆蟲,
我會趁機問他:
左邊有幾隻瓢蟲?
右邊有幾隻蜜蜂?
如果我問他:總共幾隻昆蟲?
他就會只數瓢蟲或蜜蜂.
可是我若換成總共幾隻?
他就會counting all,
呵呵.....
原來是缺乏昆蟲的概念.
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(3 歲 8 個月)
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昨天我利用和廣廣玩耍的時間.問他:
媽咪:廣廣.媽媽給你5顆糖.你吃掉一顆.那你還剩下幾顆糖?
廣廣拿出他貼身的教具---手指頭!
可是他的方法很有趣,
他是先握緊拳頭,然後把食指到小指的指頭一一用另一隻手扳出手指來.
然後一隻一隻數著手指一,二,三,四.
才大喊:四顆!
呵呵,
今天在車上等哥哥.
他溜到我腿上,準備搗蛋.
我抱著他說:
那我們來玩數學好不好?
他說:好啊!
我說:媽咪給你3顆糖果,
廣廣接著以迅雷不及掩耳的速度說:
我來我來,然後爸爸給我2顆糖果,那我總共有
(他一一數著空中的糖果,一,二,三,四,五)
大叫:5顆!
哈哈,想不到他還會自己佈題哩,
想看看他是不是矇到的.
我又問:那媽媽給你2顆糖,爸爸給你2顆糖.
那你總共有幾顆糖?
他又一一數著空中的糖果,一,二,三,四
大叫:4顆!
雖然用的策略還是最初級,
但是喜歡玩加法,已經讓我很樂啦.
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2+2+2+2
(3 歲 9 個月)
回家途中,廣廣問爸爸:
爸爸,你有一顆糖果,我有一顆糖果,媽媽有一顆糖果,哥哥有一顆糖果,總共有幾顆糖果?
爸爸大笑說:哪有人背題目的!
他認為一定是媽媽問過類似的題目,
於是反問他多少顆?
廣廣說4顆.
爸爸靈機一動問他,
爸爸有2顆,廣廣有2顆,媽媽有2顆,哥哥有2顆,
總共有幾顆糖果?
廣廣又開始空中數糖果,
1,2,3,4,5,6,7,8
停頓約2秒鐘後說:全部8顆!
我們都驚訝地替他鼓掌,
有進步囉！
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爸爸的糖果呢?
(3 歲 9 個月)
廣廣只要在車上聽到我和哥哥討論數學,
他也會自己搶著出題.
今天他說:
爸爸有3顆糖果,我有4顆糖果.
總共幾顆糖果?
然後就自己隔空數糖果,說答案,
呵呵,都沒錯.
直到自己出了這一題:
我有十顆糖果,爸爸有2顆糖果,
總共有幾顆?
他又隔空開始數一、二、三...十,
十顆。
我問:那爸爸的兩顆呢?
他很阿煞力地說:
啊,不用了啦!
我和哥哥都笑到不行 。
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樓層
(4 歲)
發現一個玩數序的好方法, 日常生活中,我請廣廣下樓或上樓去拿東西,
開始時,他真得搞不清楚,幾樓是幾樓。
於是我問他:
「從二樓往上爬一樓是幾樓?」
他想一想說:
「三樓」
「再往上呢?」
「四樓」
「那從三樓往下走一樓是幾樓?」
「二樓」
「再往下一樓呢?」
「一樓」
後來他乾脆自己說:
「一樓往上爬是二樓,再來是三樓,再來是四樓,再來是五樓。」
「五樓往下走是四樓,再來是三樓,再來是二樓,再來是一樓。」
咦,就搞清楚了!
這不是簡單的數序嗎?
往上數,往下數。
接下來問他:
「那從四樓往下走兩樓是幾樓?」
「二樓,再走上去就是三樓。」
Interesting!
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小熊看電影---數字關係(4 歲 1 個月)
仿照幼兒數學新論中的活動,讓廣廣練習數字關係。
我先做五欄兩列的座位,
告訴廣廣:
有五隻小熊要去看電影,請他幫小熊們坐好位置。
再換成六隻小熊看電影,要先坐滿第一排。
請廣廣幫他們排好位置,
然後問他:
六隻小熊比五隻小熊多幾隻?
廣廣不太懂「多幾隻」的意思,
我暗示他:把後排的一隻小熊拿出來,說他要去上廁所。
他才知道是1隻。
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By Kathy:
廣廣的這個練習
佈題的概念上還得再倒退一些
也就是再具體一些的一對一的對應關係
改成類似
4條魚給6隻貓吃，1隻貓吃一條魚，有幾隻貓沒有魚吃
或是Kathy阿姨送5個蘋果，給寬廣家4個人還有阿公阿媽吃一人吃一個蘋果，有幾個人沒吃到蘋果這樣的問題
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經過Kathy的指點,
我又想了一下,
還想到,更退一步的做法,
就是把以前廣廣玩的小鳥及草莓一對一對應的遊戲,拿出來當輔助工具.
中午吃飯時我問他:
桌上有3個果凍,我們家一個人吃一個,
那有幾個人沒吃到?
眞的如Kathy預測的,
廣廣比較容易上手了,
他說1個.
我又問:
那如果有2個果凍呢,
有幾個人沒吃到?
廣廣自動說:
2個,然後有2個有吃到.
於是我又問:
那4比3多多少?
咦!他很快地說1.
可是5左右或超過5的數,
他就不太穩定了,
有時對,有時錯.
我想,他對大於5的數量的對應關係,還不太清楚.
下次,可以針對大點的數量,佈題讓他玩玩..........
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五方與小方塊(4 歲 2 個月)
心血來潮,讓廣廣利用小方塊,排出12組五方的形狀。
意外發現,廣廣在排方塊時,除了配合五方的形,
還會一一將小方塊與五方的小方格配對,
剛好讓他複習一對一的對應。
在排到某些比較難的圖形時,
廣廣多排了一個方塊,
我發現,
他覺察到形狀怪怪的,
於是先數數五方的方格總共是5個,
又數數方塊是6個,於是又配合五方的圖形後,拿走一個方塊。
剛好又讓他了解6比5多1!
這個遊戲實在棒透了,
除了玩平面與立體的轉換,
又同時玩到對應,與「6比5多1」的數字關係。
可是最後一個形狀,
他說太難了,連試都不試就不玩了...........>_<不愧是廣廣人.......
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星期概念
(4 歲 2 個月)
廣廣已經有星期幾的觀念，
他會自己利用數序，推論星期一之後是星期二，....以此類推。
未滿四歲時，
他還會把星期日說成星期八，
然後數星期九、星期十。
呵呵，沒想到社會化這麼快，
四歲後，就制約成星期日了。
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猜溫度
(4 歲 2 個月)
回家途中，都會看見某加油站的戶外溫度計。
不知何時，孩子們很喜歡猜當天的溫度，
然後對照此加油站的溫度，
看誰猜對。
真是個好遊戲啊，
大孩子可以訓練溫度感，
小小孩廣廣，從這遊戲中，自己學會認兩位數的阿拉伯數字。
而且很有娛樂效果，
尤其是寒流期間，聽著廣廣人大叫
：『我猜30度』
大家都快笑暈了!
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對應&數字關係
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(4 歲 4個月)
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廣廣人對數的加減不太有興趣,
跟寬寬小時後差很多。
我試過問他:
「我手上有3顆糖果,現在我想要有5顆果,那你要給我幾顆糖?」
他根本不理我。
後來發現他喜歡玩骰子,
於是我變化一下玩法。
材料準備:
小熊
骰子一顆
圈線
我先用線圍成一個圓圈,
讓廣廣丟一顆骰子,
例如:骰子是3點,
那就把3隻小熊關在圈圈裏,
輪到我丟骰子得到點數5點,
那表示圈圈中要有5隻小熊,
廣廣得再拿2隻小熊放進圈圈中。
若是我丟的的點數是2,小於3,比3少1。
那廣廣得從圈圈中,拿出1隻小熊。
他很喜歡這個遊戲,
當差數小於2時,很快就可以看出差數,
有一次他丟到6,
但圈圈中剩下1隻小熊,
我觀察到他是先抓一些小熊放進去圈圈中,
然後從頭數,
發現只有5隻小熊,於是又補上一隻。
可見他的計數策略,還在counting all 階段。
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5、6、7、8..........
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(4 歲 4 個月)
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昨天在車上,我心血來潮問廣廣:
「你5個糖果,我1個糖果,我們兩個一共有幾顆糖果?」
廣廣人賴皮,要我借他手指頭數,
我不依他,要他自己用自己的手指數,
哪知他沒數,一下就說出答案6顆。
我和寬寬都很訝異,
於是問他怎麼算這麼快?
他說:「就5、6、7、8啊...」
為了更確定,他是不是已經會以大數往上數的策略,
我又問他:
「那4顆糖果和3顆糖果,合起來是幾顆?」
呵呵,小子心情好,不說一了,
但還是從1數到7。
我又換了一題,
「5顆糖果和2顆糖果,共幾顆?」
這回,他不用從頭數的策略,而是由5往上數。
我發現廣廣只在有5的數目時,
才會利用「大數往上數」的策略,
看來他的大數往上數的認知,才剛萌芽,尚未穩定。
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Kathy的解惑:
廣廣知道五隻手指頭，
是個新的「集聚單位」
這很自然，
因為手掌一伸，就是五隻了
但是他不知道四也是一個集聚單位
202.178.194....
回覆：
回覆時間：2006-05-19 12:39:25
對喔,我心裡面隱約猜測,5是新的集聚單位.
經妳一提點,豁然康朗:p
所以說,若會從大數往上數,
也必須等孩子能將每個數,都當成新的「集聚單位」才行囉,
有趣有趣........
雖然他一看見每個骰子的面,馬上能說出數量,
這還處在視覺上的能力,
咦,今天回去試試看.
3+2
看看他是否也能將3及2視為一個新的「集聚單位」.....3Q3Q
ps:廣廣的數概念還處「起始數概念」階段,所以能採用的策略也只有「序列式合成運思」
「起始數概念」是指開始對應「標準數詞序列」到具體事物的「最後一項」
例如:「12」這個數,是由12個「1」,所合起來的「集聚單位」。
要等到他能夠體會:「12」可由「7」這個集聚單位,再往上累積5個「1」後,所得到的新集聚單位時;亦即具有「內嵌數概念」時,才有能力運用「累進性合成運思」的策略。
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1+1=1?!
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(4 歲 5 個月)
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老公說：廣廣說話很有哲理。
星期日晚上,
爸爸和哥哥又取笑廣廣,
爸爸隨便亂問廣廣:
1+1=?
廣廣人又回答一,
爸爸和哥哥大笑。
廣廣人很生氣,拿起桌上的杯子解釋說:
把這個杯子的水,和那個杯子的水倒進大杯子,
不是就一杯嗎!
這回爸爸和哥哥愣住了,
咦,好像還蠻有道理了,
雖然是狡辯。
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★猜猜看，廣廣的觀念錯在哪？
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廣廣的減法策略(用加數未知的方法思考)
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(4 歲 5 個月)
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廣廣喜歡吃鐵蛋,
爸爸用鐵蛋佈題考他減法。
爸爸問:
「一包鐵蛋有8個,給你4個,剩下的給哥哥,哥哥可以拿幾個?」
廣廣伸出雙手,左手固定4隻手指,右手伸出一隻手指說:
「我有4個,哥哥1個,共5個,不對。」
接著一樣,左手固定4隻手指,右手伸出兩隻手指說:
「我有4個,哥哥2個,共6個,不對。」
......
最後
「啊!我知道了,4個。」
廣廣的思考記錄:4+( )=8
真是差太多了,我問問題,他幾乎不肯回答。
爸爸問問題,他就認真思考,
媽媽就這麼無趣嗎?>_<
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10、20、30.........
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(4 歲 6 個月)
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去大遠百避暑後,
廣廣吵著要去隔壁的playground溜滑梯。
只見他把溜滑梯當作太空船,
嘴裏唸唸有詞。
突然聽到他唸:「10、20、30....」
咦,怎麼突然會10個一數的唱數呢?
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廣廣的減法解題策略(被減數-減數=?)
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(4 歲 6 個月)
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昨晚睡覺前問廣廣:
「你有5個糖果,吃掉2個還剩幾個?」(拿走型)
解題紀錄:5-2=?
只見他右手伸出五隻手指(做數),
然後左手抓住兩隻手指,
數剩下的三隻手指說:
「3個」
與減數未知的題型,所使用的策略完全不同,
但也可以看出,他尚未發展出成人的算則.
有理論基礎,而非憑本能地觀察孩子的解題策略,真是一件有趣的事呢!
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集聚單位『5』
(4 歲 6 個月)
廣廣昨晚自己在床上,念念有詞說:
媽咪,5+4=9.5+1=6.5+3=8.....
速度很快,完全沒用到手指頭,
以五為被加數的化聚能力,很明顯地進步了。
但為了試驗其他的集聚單位,
我問他:4+3=?
果然,他還是伸出手指,由一數到七,
就像Kathy說的,伸出手就是五隻手指頭,
很自然地,孩子就會將五視為一集聚單位了。
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數棒的興趣
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(4 歲 7 個月)
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下午睡醒,上樓看兩兄弟在作什麼?
只見弟弟在排數棒,
按照基本排法,從一排到十。
排兩組,排成樓梯的形狀。
我順势問他:紅色數棒等於幾個白色數棒?
以前,他都不肯觀察,現在,他很有興趣地說兩個。
然後一一說出其他顏色的數棒,等於幾個白色數棒。
接著一一命名一號、二號、三號.....十號數棒。
我心血來潮,想讓他熟記每根數棒代表的數量。
於是我把數棒弄亂了,
抽出其中一根,藏在妙妙袋中,
問他袋子中是幾號數棒?
亂七八糟的數棒,讓廣廣找不出線索,
(我的期待是,他能把亂七八糟的數棒按順序排列,然後看哪一根數棒不見了?)
於是我又稀釋題目,
我請他將十根數棒重新按順序排一次。
然後述說遊戲規則,
我請他轉頭,不可偷看,然後抽走其中一根數棒,放進袋中,請他猜猜袋子中是哪根數棒?
這樣他可以從留下來排列整齊的數棒中,推敲少掉的數棒,就是袋中的數棒。
而且也能說出數棒的號數,
重點是,他對此遊戲樂此不疲。 我還是找藉口脫身了..........
古氏數棒,真是提升孩子數品質的好教具。
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數的興趣
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(4 歲 8 個月)
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廣廣漸漸對數有興趣了,
常常見他自問自答。
4+3=7....
9+2=11
很快就算出來,
我問他怎麼算的?
他總是回答:就1.2.3.4.5.......11啊。
我有點懷疑,因為若是counting all,
速度不可能如此快。
也不見他伸出手指數,
再問他一次以做確認。
他舉起腳來說:你看,還有一隻腳指啊。
呵呵,手加腳,果然是人類最原始的計算工具。
這回,在車上,又見他拿出雙手念念有詞。
先是左手五指全開,接著彎下一個手指頭,右手伸出一隻手指頭,邊說:
這樣我多一個,這裡4個。
又左手彎下兩隻手指,右手伸出兩隻手指,邊說:
這樣,我多兩個,這裡3個.........
直到,啊!這裡沒有了。
很自然地用自己的手指,玩起加減法來。
媽咪就是喜歡你這樣,自自然然地玩起數來 ...........真好!
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倒數
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(4 歲 10 個月)
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廣廣會從1唱數到100後,
開始自己玩從100倒數到1.
雖然有些地方會亂掉,
但他會停頓下來想一想,
再試著重數.
我在一旁看得很有意思,
也突然想到:
唱數,不管從前數到後,還是從後數到前.
是不是心理數線形成的先備能力?
而孩子有了心理數線後,是不是才能發展出累進性合成運思呢?
還是我想太多了..........
不管怎樣,觀察孩子的發展,真的非常有意思.
太早敎孩子知識與能力,就會失去了這些觀察的樂趣囉....
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加法交換率
(4 歲 10 個月)
在車上,我隨便問廣廣7+5=?
他還是用counting all 的策略算出12.
然後接著告訴我:7+5和5+7一樣耶.
我問他為什麼一樣?
他說都是12啊.
嘿嘿,懂得交換率,還不賴喔...........
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累進性合成運思
(4 歲 11 個月)
廣廣終於往前進化一步了.
可以將某個『集聚單位』當作計數單位了.
然後往上數,解決加法問題.
這幾天爸爸故意考他需進位的加法.
像8+4=? 7+5=?.........
他幾乎很快就可以算出來,問他怎麼算的.
他都說從一算.
但是觀察他,他是嘴理念著8.9.10.11.12,
我猜他是從1開始想,直接想到8這個數,然後才接著往上數.
後來爸爸故意考他21+4=?
因為21的數字大他就會說21.22.23.24.25,
31+3=?
他也直接從31往上數31.32.33.34.
喔耶,
我等了好久還好心臟夠有力,
不教就是不教.
可是就像教材分析說的,
有了足夠的計數經驗,才能將一個『集聚單位』視為『計數單位』,
所以日常生活中多給孩子加法的經驗,但不去干涉他的解題策略.
經驗足夠了,孩子自然就會進化了........
Ps:我後來問他,怎麼會想到用比較大的數往上算,
他說因為從『一』數很慢啊,人類的文明果然是為了解決問題而進化的:p
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心算的工具
(4 歲 11 個月)
廣廣還不具備累進性合成運思前,
看他counting all ,遇見超過10的情況.
手指不夠用,常見他蹲下來數腳趾.
問題是,他穿的是球鞋,根本看不見腳趾.
他依然能算對答案.
這回邁進累進性合成運思了,
只見他嘴裏唸著大數,然後專注地往上數,
沒用任何的替代物,代替累積的『一』.
答案也都算對.
和寬寬以前好像喔,
都不喜歡用手指或其他的替代物件,
只喜歡用心算.
只是很好奇,
小小腦袋瓜裏的心像是什麼?
是手指嗎?圓圈圈?積木?還是........?
是不是這樣看著球鞋數久了,
集聚單位就變成計數單位啦?
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往下數
(4 歲 11 個月)
中午一家去吃水餃,
享受難得溫暖的陽光.
我們叫了30粒水餃,
一盤10粒、一盤20粒.
寬寬單獨吃十粒那盤,
吃完後,爸爸要他幫忙吃其他的水餃,
寬直說:我已經吃掉十粒了耶,好飽喔!
廣廣不服氣說:亂講,我吃了兩粒你的水餃哩.
爸爸就藉機問他:
「哥哥的水餃有十粒,你吃了兩粒,那哥哥吃幾粒?」
本來以為他不會.
沒想到他一下就回答:
「八粒」
哇,嚇死我們了.
問他怎麼算的?
他說:很簡單啊,
10、9、8
8 粒啊.原來他是用「往下數」的策略啊!
果然是累進性合成運思的小孩!
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玩撲克牌
(5 歲)
下午廣廣就讀的幼稚園補假,
我只好請休假,在家照顧他.
讀數學已經讀到腦筋快打結了,
想玩點輕鬆的遊戲,
就把廣廣抓來玩撿紅點.
呵呵,我們的撿紅點是改良簡易版,
把人頭的牌全都抽掉,
其餘的數字牌,一張一張都攤蓋在地板上.
每人一次翻2張牌,
若是兩張牌的數字合起來剛好是10,就可以拿走.
若無法合成10就留著,
等另一個人翻開兩張牌,再從4張牌中,去找出總和是10的兩張牌.
以此類推,最後撲克牌的張數最多者獲勝.
呵呵,其實是讓廣廣練習10的合成,
所以,即使輪到我翻牌,還是請他幫我找出總和為10的兩張牌.
他對撲克牌不熟,
對10的合成也不熟,根本是沒概念.
但是他的尋找策略雖笨,卻有系統.
我看到他都以翻出來的那張牌為主,
一一核對其他的牌數,
計數的策略,還是回到counting all.
看來有點退化,
以後多玩幾次,看看會有何發現...........
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進步了
(5 歲)
自從開始和廣廣玩撲克牌後,
他竟然著迷了,幾乎天天黏著我要玩撿紅點.
我限定只陪他玩一回(因為媽媽太沒耐心了),
昨晚玩的時候,他已經能感覺,有些數量合起來肯定超過10,
像8和7,
就可以不用理會了.
今天更進步,
可以直接找出配對的排組,
看見8會直接找2.
看見4會直接找6.
但爾偶還是會數一數,確定一下對不對.
後來我試試他.
4+6=?
3+7=?
3+5=?
........
他很快就能答對.
只是這3+5=?是用counting on big的方法,
而10的答案,似乎是玩撲克牌的記憶呢！
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往上數算減法
2007 / 1 / 14 (5 歲)
每天一定得陪廣廣玩撲克牌,
而且還得故意輸給他,
不然得陪他玩到他贏為止.
今天他突然告訴我:
媽咪,昨天玩撲克牌,我15張,妳12張,我們差3張.
我問他:你怎麼算的?
他說:12.13.14.15,3張啊.
我很好奇,他從12往上數,發現再數3個數字,才會到15.
可是怎麼不會把12也算進去?
而且上次是從上往下數,
這次竟然是從下往上推數,
策略都不一樣耶,很有意思.
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廣廣現在只具備「又一累進性合成運思」的能力,
雖然已經熟悉撲克牌「合十」的玩法,
但他還尚未形成「又十累進性合成運思」。
我打算先讓他自然發展出這樣的能力,
如果真有需要,再介入提升的策略。
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