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2021-10-26 19:16:40滄桑流轉

看數學是理解概念而不是背誦它

在我長期的閱讀經曆中,我意識到學好數學最重要的法寶就是掌握概念。數學以公理公設為前提,以定義為指導,以邏輯為工具,圍繞定義的概念逐步推導出各種命題。在這個發展過程中,推理的藝術文化籠罩一切,中六數學,所涉及的概念設計無處不在。因此一遇到某個概念,腦海裏就應浮現出關於它的清晰圖像。

既然概念如此重要,為什麼很多學生並不把它放在眼裏呢?原因之一是,對於他們而言,背誦定義比理解定義更容易、更輕松。好的教科書中的數學問題定義,寫得都是非常了解清楚,也很節約,即沒有進行任何廢話,每個字都有用。要完全理解複雜定義的內涵並非易事,需要不停地苦思冥想,絞盡腦汁。

檢驗自己是否真找到了一個定義,一個妙法就是命令直接寫出該定義不滿足時的一句陳述。如果寫不出來,大概離真懂定義一個尚有需要一段時間距離。

茲舉一例。假設讀者學過 “ε - δ” 語言的極限定義。讓我們先回憶一下這個定義:我們說函數f當x趨向於a時的極限為L,如果任給正數ε,存在正數δ,使得當位於f的定義域內的x滿足不等式0 |x-a| δ時,不等式|f(x)-L| ε就成立。那麼,“函數在 $a$ 點的極限不是 $L$”這一現象該怎麼陳述呢?

這是關於一個性質不成立的說法。當這個屬性很簡單時,否定也很簡單。例如,“我是一個學生”的否定敘述就是 “我不是一個學生”。然而,對於一個包含了任給 、 存在 、 當......就”等單詞和短語的複雜定義,它的否定語句就不是那麼簡單了。我們需要開動頭腦裏所有的邏輯機器,揮舞分析的大刀才能辦得到。

對很多人來說,當他們只想記住而拒絕思考時,學習數學是一個很大的障礙。有些同學已經記住了上面極限的定義,但還是無法俘獲對方的心。一旦他們開始一個稍微有挑戰性的極限問題,他們就會陷入迷霧。尤其在我們需要進行證明自己極限不存在的場合,就更加不知所措了。

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